四川省2017中考数学专题突破复习题型专项十二二次函数与几何图形的综合题试题VIP免费

专项(十二)二次函数与几何图形的综合题类型1探究图形面积的数量关系及最值问题1．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax2＋bx.得解得(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，F.S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)． S＝－(x－4)2＋16.∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.2．(2016·雅安中学一诊)如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A，B两点，并与直线y＝x－2交于B，C两点，其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点，连接AC.(1)求抛物线解析式；(2)求证：△ABC为直角三角形；(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积．解：(1) 直线y＝x－2交x轴，y轴于B，C两点，∴B(4，0)，C(0，－2)． y＝ax2－x＋c经过点B，C，∴解得∴y＝x2－x－2.(2)令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.∴OA＝1，OB＝4.∴AB＝5.∴AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，AB2＝25.∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形．(3)连接CD，BD，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.1设直线BC的解析式为y＝kx＋b. 将B(4，0)，C(0，－2)代入，得解得∴直线BC的解析式为y＝x－2.设点D(a，a－2)，则点P(a，a2－a－2)． PD＝PE－DE＝－a2＋a＋2＋(a－2)＝－a2＋2a，∴当a＝2时，PD有最大值，PD的最大值为2. S四边形ACPB＝S△ACB＋S△CBP＝AB·OC＋OB·DP＝×5×2＋×4·DP＝5＋2PD.∴当PD最大时，四边形ACPB的面积最大．∴当点P的坐标为(2，－3)时，四边形ACPB的面积的最大值为5＋2×2＝9.3．(2015·攀枝花)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，过点D作DH⊥x轴于点H，连接DC，DB.令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝(－t2＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t2＋2t＋3)－×3×3＝－t2＋t. －＜0，∴当t＝－＝时，即点D坐标为(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为.(3)存在． P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一， 直线BC解析式为为y＝－x＋3，∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.由解得∴Q1(2，3)． 直线PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式y＝－x＋3，∴M(1，2)．设PM与x轴交于点E， PM＝EM＝2，∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．联立解得∴Q2(，－)，Q3(，－)．∴满足条件的Q点坐标为(2，3)，(，－)或(，－)．2类型2探究线段的数量关系及最值问题4．(2016·成都青羊区二诊改编)已知抛物线y＝x2＋(－1)x－2(a＞0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点D(2，－2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AE＋CE最小，求出点E的坐标．解：(1) 抛物线过点D(2，－2)，∴×4＋(－1)×2－2＝－2，解得a＝4.(2) 点A，B是抛物线与x轴的交点，∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点．∴连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AE＋CE最小的点． a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.令y＝0，则...