雅可比行列式

§ . 函数行列式教学目的掌握函数行列式．教学要求(1) ．掌握函数行列式(2) 能用函数行列式解决一些简单的问题一、函数行列式由nAR 到 R的映射（或变换）就是n 元函数，即12(,,,, )nnx xxyfARRRL，或1212(,,,),(,,,).nnyf xxxx xxALL由nAR 到nR 的映射（或变换）就是n 个 n 元函数构成的函数组，即1212(,,,,,,,)nnnnnx xxy yyfARRRLL，或1112221212,12(,,),(,,),(,).(1)(,,).nnnnnnyf x xxyfx xxx xxAyfx xxLLLL L LL表为12(,,)nfffL，设它 们 对每个 自 变量都 存 在偏导数,1,2,1,2ijfin jnxLL， 行列 式111122221212nnnnnnfffxxxfffxxxfffxxxLLMMMML（2）称 为 函 数 组12(,,)nfffL在 点12,(,)nx xxL的 雅 可 比 行 列 式 ， 也 称 为 函 数 行 列 式 ， 表 为121212,12,(,,)(,,)(,)(,)nnnnfffDfffx xxD x xxLLLL或.例：求下列函数组（变换）的函数行列式：1. 极坐标变换cos ,sin .xryrcossin( , )sincos( ,)xxrrx yyyrrr22cossin.rrr2. 柱面坐标变换cos ,sin,.xryrzz22cossin0( , , )sincos0cossin( ,, )001xxxrzrx y zyyyrrrrrzrzzzzrz.3. 球面坐标变换sincos ,sinsin,cos .xryrzr2sincoscos cossinsin( , , )sinsincossinsincossin .( , , )cossin0xxxrrrx y zyyyrrrrrrzzzr二、函数行列式的性质为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n 都是正确的 .已知一元函数( )yf x 与( )xt 的复合函数[ ( )]yft的导数是 dydy dxdtdx dt，与它类似的有：定理 1. 若函数组( , ),( ,)uu x yvv x y 有连续的偏导数，而( , ),( , )xx s tyy s t 也有连续偏导数，则( , )( , )( , )( , )( , )( , )u vu vx ys tx ys t.证明： 由复合函数的微分法则，有,uuxuyuuxuysxsystxtyt由行列式的乘法，有( , )( , )uxuyuxuyuuxsysxtytu vstvvvxvyv xvys tstxsysxtyt( , )( ,)( ,)( , )uuxxxyu vx ystvvyyx ys txyst.若一元函数( )yf x 在点0x 某邻域具有连续的导数( )fx ，且0()0fx. 由连续函数的保号性，在点0x 某邻域0,( )()fxfx与保持同一符号， 因而在函数( )yfx 严格单调， 它存在反函数( )xy ，且1 .dxdydydx和它类似的有：定理 2. 若函数组( , ),( , )uu x yvv x y 有连续的偏导数， 且( , )0( , )u vx y，则存在有连续偏导数的反函数...