13www.1smart.org400-010-08683.2同角三角函数基本关系与诱导公式中国领先的个性化教育品牌讲义编号1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．一、同角三角函数的基本关系式1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)2．商数关系:tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z)二、六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα不要求不要求对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说考纲要求知识梳理13www.1smart.org400-010-0868中国领先的个性化教育品牌±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α＝sin(π－α)＝sinα.【考点一】同角三角函数关系式的应用★1．（2009北京9）若，则.【答案】【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.由已知，在第三象限，∴，∴应填.★★2.（2011北京9）在ABC中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。【答案】102552★★★3．已知sinα－cosα＝，则sinα·cosα＝________.答案：★★★4．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出来，并求其值．解：(1)法一：联立方程究疑点典型例题13www.1smart.org400-010-0868中国领先的个性化教育品牌由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0. α是三角形内角，∴，∴tanα＝－法二： sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝()2，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝. sinαcosα＝－<0，且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝，由，得，∴tanα＝－..(2)＝＝＝. tanα＝－，∴＝＝＝－.【变式之作】★★（2009辽宁卷）已知，则（A）（B）（C）（D）【解析】＝＝【答案】D[归纳领悟]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【考点二】诱导公式的应用★1．（2010全国卷1）(1)(A)(B)-(C)(D)1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】13www.1smart.org400-010-0868中国领先的个性化教育品牌★2.（2009全国卷Ⅰ）的值为(A)(B)(C)(D)【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：，故选择A。★★3．已知tanθ＝2，则＝()A．2B．－2C．0D.解析：＝＝＝＝＝－2.答案：B★★★4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2.★★★5．化简(1)＋；(2)，k∈Z.解：(1)原式＝＋＝＋＝.(2)当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)，原式＝＝＝＝－1；当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.【变式之作】★★★已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－...
