14级竞赛辅导教案不定积分

竞赛辅导（不定积分）（I）知识要点及方法一、原函数与不定积分概念1．原函数定义：设函数f (x) 在区间 I 上有定义，若存在可导函数F(x)满足 F(x)  f (x)（或dF(x)  f (x)dx称函数 F(x)是函数 f (x) 在区间 I 上的一个原函数．2．原函数存在的条件：若 f (x) 在区间 I 上连续，则 f (x) 在区间 I 上一定有原函数．注： f (x) 连续是存在原函数的充分条件，不是必要条件，如：112xsin cos， x  0， ) 内有f (x)  在 x  0点处不连续，但是 f (x) 在区间(，xxx  0，0，1 2x sin， x  0，原函数 F(x)  xx  0.0，3．原函数性质：若 f (x) 在区间 I 上有一个原函数 F(x)，则 F(x)  C 是 f (x) 在区间 I 上的所有原函数．4．不定积分定义：函数 f (x) 在区间 I 上的所有原函数 F(x)  C 称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记作 f (x)dx  F(x)  C ．5．不定积分与导数的关系：① 先积分再求导（或微分）：[f (x)dx]  f (x) ，或 d[f (x)dx]  f (x)dx ；② 先求导（或微分）再积分： F(x)dx  F(x)  C ，或  dF(x)  F(x)  C ．6．不定积分的线性性：①  kf (x)dx  k f (x)dx ；②[ f (x)  g(x)]dx f (x)dx g(x)dx ．三、不定积分的方法1．拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个简单积分，从而进行积分．需要掌握一些常用拆项方法与技巧．2．凑微分法： f [(x)](x)dx   f [(x)]d(x)  F[(x)]  C ．凑微分法主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与中间变量导数之积的积分）．要熟练常用的几个凑微分式子：（1） f (ax  b)dx 11f (ax  b)d(ax  b) (a  0) ；a（2） xf (ax 1  b)dx  1 f (ax 1  b)d(ax 1  b)a(a  0) ；（3）f (ln x)dx   f (ln x)d(ln x) ；xxx（4） e f (e )dx   f (e x )d(e x ) ；（5）（6） f (arctan x)dx   f (arctan x)d(arctan x) ；21 x f (arcsin x)1 x 2dx   f (arcsin x)d(arcsin x) ；（7）（8）（9） f (sin x)cos xdx  f (s...