简单的三角恒等变换VIP免费

[小题热身]1．已知cosπ4－x＝35，则sin2x＝()A.1825B.725C．－725D．－1625解析：因为cosπ4－x＝35，所以cosπ4cosx＋sinπ4sinx＝35，则sinx＋cosx＝352，所以1＋2sinx·cosx＝1825，即sin2x＝－725.故选C.答案：C2．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33解析： α2∈(π2，π)，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－23＝－63.答案：B3．若tanθ＝3，则sin2θ1＋cos2θ＝()A.3B．－3C.33D．－33解析：sin2θ1＋cos2θ＝2sinθcosθ1＋2cos2θ－1＝tanθ＝3.答案：A4．化简：cos40°cos25°1－sin40°＝()A．1B.3C.2D．2解析：原式＝cos220°－sin220°cos25°cos20°－sin20°＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝2，故选C.答案：C5．(教材改编)sin15°－3cos15°＝________.解析：sin15°－3cos15°＝2sin(15°－60°)＝－2sin45°＝－2.答案：－26．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f(π12)的值为________．解析： f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x，∴fπ12＝4sinπ6＝8.答案：8[知识重温]一、必记3●个知识点1．降幂公式sin2α2＝①__________(用cosα表示)cos2α2＝②__________(用cosα表示)tan2α2＝③__________(用cosα表示)1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα2．半角公式sinα2＝±1－cosα2cosα2＝±1＋cosα2tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα其符号由α2所在的象限决定．3．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.二、必明2●个易误点1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的．2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解．考向一化简与求值问题[自主练透型][例1](1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________；(2)(2017·河南商丘一模)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.12cos2x268[解析](1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2) α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝268.—[悟·技法]—三角式化简与求值的原则方法与要求(1)三角函数式的化简遵循的三个原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂．(3)三角函数式化简的要求①能求出值的应求出值．②尽量使函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．—[通·一类]—1．化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.解析：原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.答案：22cosα2．化简1＋sinθ＋cosθ·sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0<θ<π)＝________.解析：原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2·sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2·sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2. 0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴cos...