立体几何中的向量方法【要点梳理】1.平面的法向量定义：已知平面 ，直线l ，取l 的方向向量a ，有a ，则称为a 为平面 的法向量。要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。2.平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为 n=（x，y，z）；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；na 0（iii）根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程；nb 0（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．运用：（1）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线l 的方向向量是a ，平面 的向量是u，则要证明l // ，只需证明a u，即au 0。（2）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。②若能求出平面 ， 的法向量u，v ，则要证明 // ，只需证明u//v 。（3）线面垂直①设直线l 的方向向量是a ，平面 的向量是u，则要证明l ，只需证明a //u 。②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（4）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。②证明两个平面的法向量互相垂直。（5）求直线和平面所成的角第1页共15页设直线l 的方向向量为a ，平面 的法向量为u，直线与平面所成的角为 ，a 与u的角为 ，则有sin | cos | | a u |。| a || u |（6）求二面角如图，若 PA 于 A，PB 于 B，平面 PAB 交l 于 E，则∠AEB 为二面角 l 的平面角，∠AEB+∠APB=180°。ur uurur uurn1 n2ruur若 n1 n2 分别为面 ， 的法向量，n1,n2 arccos u| n1 || n2 |则二面角的平面角AEB n1,n2 或 n1,n2 ，即二面角 等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。①当法向量 n1 与 n2 ...
