1/8★精品文档★常微分方程教学设计第一讲基本概念定义 1 如果在一个（或者一组 m（有限个））方程中，未知的（unknown）量是一个（或一组 m 有限个））函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量（independentvariable）的导数或微分，则称这方程为常微分方程（ordinarydifferentialequation）（或者常微分方程组（ODE's））,简称常微分方程（组）为微分方程（DE）（组（DE's））或方程（组）•（提示）常微分方程之例：若 x是自变量 t 的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程（一阶线性齐次方程）（正规形式），（一阶线性非齐次方程）（正规形式），（二阶线性齐次方程），（二阶线性非齐次方程），（Riccati 方程）（一阶非线性方程）都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数 x 本身，但必须实质上含 有 未 知 函 数 x 的 导 数 • 注 意 ， 在 本 教 程 中 不 讨 论 延 迟（ retarded ） 常 微 分 方 程 ： 常 微 分 方 程 组 之 例 ： 记vector ） ， 是 自 变 量 t 的 函 数 ， 用 个 变 量 为 m 维 列 矢 量（column，其中，，简记的已知函数，（以后都这样表示，不要误解为矢量 x 的是常微分方程组•函数），则矢量（vector）方程 n 阶微分方程可以通过变换组：定义 2 微分方程中实质上含有的未知函数 x 的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于 x的阶•微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶（计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数）．（提示）方程组的★精品文档★2/83/8★精品文档★任意常数.这里，我们仅验证 3，其余留给读者完成.事实上，在(-8,+8)上有所以在上有从而该函数是方程()的解•从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数,其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数•我们把 n 阶常微分方程()的含有 n 个独立的任意常数 C1,C2,…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程()的解不包含任意常数，则称它为特解•由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分•由上面的定义，不难看出，函数分别是方程()，()和()的通解，函数和是方程()的通积分，而函数 y=土 1 是方程()的特解•通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件•初值...
