物理竞赛数学知识——微分(导数)

高一·物理·竞赛班·第1 讲·教师版 讲述高端的真正的物理学 1 第一讲 极限和导数 本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍，并指导同学在实际的物理情景中应用。讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式，相对于野蛮的“摔公式”教学方法，同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。 本节知识提纲 1 数列极限：数列极限的定义，数列极限的计算 2 函数极限：函数极限的定义，物理中极限的使用 3 导数：导数扩展了物理量的定义。掌握导数的几何意义，基本求导公式，求导运算法则 最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度，这种情况在喜欢物理的同学中非常普遍，这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。本讲义实际讲解的是很不严密的，代替不了真正的数学课，建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。 第一部分 数列极限 知识点睛 先思考这个问题0.9999 和 1 哪个大？ 纯洁而朴素的想法如下：0.91， 0.991， 0.9991 ，所以无限循环小数0.9999 小于1。然而事实并非如此。令0.9999x ，则有： 109.9999x  0 . 9 9 9 9x  相减得到： 99x  所以10.9999x  为了解释这样的事情，我们做如下分析，构造数列na ： 0.99...9nna  显然数列里面的每一项都是小于1 的。但是0.9999 并不在这个数列中。因为数列里面每一项都是有限小数，0.9999 是无限小数。当项数n 不断增大的时候na 不断靠近0.9999 ， 却一直不等于 0.9999 。我们这样定义数列的极限： 如果存在一个实数p 使得：对于任意的实数0 ，都存在一个整数n ，使得对于任意mn，||map，那么就叫p 是数列na 的极限，记作limnnpa。否则叫数列na 没有极限。 可以这样形象地理解这个定义：当n 很大的时候，na 与 p 要多靠近就有多靠近；n 越大，na 与本讲提示 知识模块 高一·物理·竞赛班·第1 讲·教师版 讲述高端的真正的物理学 2 p就越靠近。但是并不要求na 要等于p。 回到刚才的例子，0.9999 是数列0.99...9nna 的极限。证明如下： 对于任意一个实数0 ，总有一个整数n使得10 n，则对于mn，1|0.999...| 0.00...099...0.00...01mmma。按照极限的定义0.9999 是数列的极限，同理1 也是数列的极限，二者是相等的。 不加证明的给出几个定理，有兴趣的同...