第七篇 第一章统计理论基础 1.试求理想气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。 1．解：假设我们考察的系统是 n mol 的理想气体，由于理想气体状态方程为： (1) (2) 故定压膨胀系数： 而等压压缩系数: 综上有理想气体（n mol）： 2.某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数 ，，其中都是常数，试求此气体的状态方程。 2．解：根据题意： 把体积看成是数并微分有： 两边同时积分有： 由极限情况下： , 故： 得到： 3．一弹性棒的热力学状态可用它的长度L，应力描述f和温度T 关系,即为其状态方程，今设此弹性棒发生一微小变化，从一平衡态变到另一平衡态，试证明： 其中为棒横截面积，为线膨胀系数，为杨氏模量。 3．证明：杨氏模量的定义：与类比线胀系数： 对长度积分有： 证毕 4．对气体的膨胀系数和压缩系数进行测量的结果得到一下方程： ， 其中是常数，只是的函数. 证明：（a） (b) 状态方程： 4．证明：(a)由： （1） 又由 ： （2） （2）式两边对求导（T 一定时）： 此式与比较可知： f（P）= （因与 T 无关也与 P 无关） (b) 将带入(1)式有： 当时，,故 5 ．试给出半径为的维球体积： 5 ．证明：在半径为1 的维球区域内积分为： 以另一种方式求上述积分有： 由两式可知： 证毕 6 ．利用附录给出的斯特林公式：证明上题中的系数满足下式： 6 ．证明：第一部分： 只要将上题中解答过程的(3 )式中的换成即得。故关键是证明第二部分 由于 (1 ) 由于： 即有（1 ）式成立，故待证命题成立。 证毕 第二章统计热力学基础 1．单原子晶体中可占据一个格点或一个间隙点。原子占据格点时的能量比占据间隙点时高 。设格点数和间隙点数相等。且等于晶体中的原子数。 （a） 考虑有 个原子占据间隙点的宏观态，计算系统处于此宏观态的熵 （b） 设系统达到平衡，问晶体在此态的温度是多少？ （c） 若，晶体的温度时 300K，处于间隙点的原子所占的比例是多少？ 解：（a）根据题意假设一个原子占据间隙点时能量，则占据格点时能量 。现有个原子占据间隙点故有个占据格点。 此宏观态对应的微观态数 故熵： （b） 按（a）中晶体达到平衡总能量： 根据： （d） 由 代入（b）式求得： 2．考虑橡皮带简单模型，一个一维链条由个长度为链环沿着轴，但可以重叠（如图），链条两个端点的距离为，系统是孤立的，链环各种方位有相同的能量，证明 时可以得到胡克定律。 证明：我...
