第一讲数列的极限典型例题

1 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 NnNaxnn,,0lim，有 axn. 注 1  的双重性.一方面,正数 具有绝对的任意性,这样才能有  nx无限趋近于)(Nnaxan 另一方面,正数 又具有相对的固定性,从而使不等式 axn.还表明数列 nx无限趋近于 a 的渐近过程的不同程度,进而能估算 nx趋近于a 的近似程度. 注 2 若nnxlim存在，则对于每一个正数 ，总存在一正整数N 与之对应，但这种 N 不是唯一的，若 N 满足定义中的要求，则取,2,1NN，作为定义中的新的一个 N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个 N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注 3 axn )(n的几何意义是：对a 的预先给定的任意邻域),(aU，在 nx中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(aU． 注 4 NnNaxnn00,,0lim，有00 axn. 2. 子列的定义 在数列 nx中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为 nx的子列，记为 knx，其中kn 表示knx在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注 1 对每一个k ，有knk ． 注 2 对任意两个正整数kh,，如果kh ，则khnn ．反之，若khnn ，则kh ． 注 3 KkKaxknn,,0lim，有 axkn. 注 4 axnnlim nx的任一子列 knx收敛于a . 3.数列有界 对数列 nx，若0M，使得对Nn ，有Mxn ，则称数列 nx为有界数列． 4.无穷大量 对数列 nx，如果0G，NnN,，有Gxn ，则称 nx为无穷大量，记作nnxlim． 2 注1  只是一个记号，不是确切的数．当 nx为无穷大量时，数列 nx是发散的，即nnxlim不存在． 注2 若nnxlim，则 nx无界，反之不真． 注3 设 nx与 ny为同号无穷大量，则nnyx 为无穷大量． 注4 设 nx为无穷大量， ny有界，则nnyx 为无穷大量． 注5 设 nx为无穷大量，对数列 ny，若0， ,N使得对Nn ，有ny，则nn yx为无穷大量．特别的，若0 ayn，则nn yx为无穷大量． 5.无穷小量 若0limnnx，则称 nx为无穷小量． 注1 若0limnnx， ny有界，...