向量在高中数学里的妙用姓名：__________指导：__________日期：__________第 1 页 共 7 页向量，顾名思义，就是既有方向又有大小的量，在物理里面又称为矢量。物理里面，像位移、速度、加速度、力等物理量，都是矢量。从向量的定义，我们不难看出，向量具有几何方面的特性——方向，又具有代数方面的特性——大小。这就意味着，向量先天然的就是一个代数与几何完美结合的典范，具有很强的解析性。这也意味着，向量问题的处理，经常体现数形结合的思想，很多时候是比较灵活的，需要我们多加琢磨。其实在以前的高中数学教材里，是没有向量这一模块的知识的。对于向量，我们数学老师的感受是非常深刻的，因为向量的引入，极大程度上降低了某些传统知识的讲解和学习，像三角恒等式、余弦定理、柯西不等式等等。毫不夸张的说，向量就是一把利器，既利于老师教学，也利于学生学习。然而，遗憾的是，部分老师自己不太接受这个新的工具（其实也不新了，向量引入高中教材，已经有 16 年之久了），还是用传统的方法来讲解上述定理（余弦定理等）。诚然，传统的方法也体现了很丰富的数学思想，但较之向量还是要逊色一些。再者，我们常常鼓励孩子们要接受新知识，新方法，我们老师又何尝不是如此呢。今天，我们就来讲讲，采用向量这个工具，如何在上述定理的学习中发挥巧妙的作用，一起来感受向量在数形结合里展现的奇妙。一、两角余弦差公式先来看看两角余弦差公式的表述形式：我们知道，在所有三角恒等式里，两角余弦差公式是最重要的公式，没有之一！为什么？因为可第 2 页 共 7 页以通过这个公式，推导出剩下的所有的三角恒等式，这回你知道我没有虚张声势了吧。正是如此，这个公式的证明就显得尤为重要。我们来看看采取向量的方法，如何证明这个公式。我们先给一个单位圆，以及圆上的任意两点，A，B。由图可知：∠AOB 实际上就是向量 OA 与向量 OB 的夹角，那么，由向量的内积定义：第 3 页 共 7 页因为 AB 两点在单位圆上，所以这两个向量的模都是 1，所以：如此，我们就用向量证明了两角的余弦差公式，是不是非常简洁啊。大家感兴趣的话，可以搜索一下传统的证明方式，是比较繁琐的。二、余弦定理余弦定理是解三角形里一个非常重要的定理，用向量的方式也是极其的简洁。在三角形 ABC 中，余弦定理表述如下：我们给一个三角形，当然，这是任意给的三角形，再给三个向量，即向量 AB，向量 AC，向量 BC。第 4 页 共 7 ...
