第二章 变分法 第一节 动态优化简介 一、静态优化问题 如果一个企业要确定一个最优产出水平 x 以最大利润( )F x ： 0max( )xF x （1） 这样的问题的解通常将是一数，即确定选择变量的单个最优值。最优值常可由一阶条件()0Fx 确定。 动态问题是多期（multiperiod）的，但是．．并不是有多期的时间就是动态问题．．．．．．．．．．．．．．．。考虑企业的多期决策问题： 1max( ,)TttF t x （2） (0,1)txtT 描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的时间路径。显而易见，总利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的tx ）。但由于 t 期利润只与t 期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在每一期最大化利润即可，即这一个问题的解是一个有T 个数的集合，1{,}Txx 。所以由于任一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的．．．．静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。问题（2）有类似的T 个一阶条件，各期的一阶条件之间没有联系。在 Ramsey 模型的竞争性均衡结构中，生产者问题就具有这样的性质。 二、动态问题 具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未．．．．．来．的利润。更为一般地来说，当前决策影响未来决策。 11max( ,,). . 0,1TttttF t xxs txtT 0x 给定或0(0)xx （3） 在问题（3）中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，t 期选择的产量tx 不但影响t 期的利润，还会影响到以后的利润。注意，上述问题中已指定了0x 。0x 影响到了以后各期的利润（从而也影响到总利润）。 问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的T 个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径．．．．．．．．．．．．．。每一产出路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个数值）到实数之间的映射关系叫泛函．．。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为目．标泛函．．．。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。 问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时刻的产出（状态）已知。注意初始点有两个维度．．．．：时间与状态．．．．...
