贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)： 这类方程的解是无法用初等函数系统地表示的。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。 历史 贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18 世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817 年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 [1] [2]。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α = n+½），因 此 贝塞尔函数在波 动问题以及 各种涉 及 有 势 场 的问题中占 有 非 常重要的地位 ，最典 型 的问题有 ： ● 在圆柱形波 导 中的电 磁 波 传 播 问题； ● 圆柱体中的热 传 导 问题； ● 圆形（或环 形）薄 膜 的振动模 态 分析 问题； 在其他一些 领 域，贝塞尔函数也 相当有 用。譬 如在信 号处理中的调 频 合 成 （FM synthesis）或凯 泽 窗 （Kaiser window）的定义中，都 要用到贝塞尔函数。 定义 贝塞尔方程是一个二 阶常微分方程，必 然 存 在两个线 性无关 的解。针对各种具体情况 ，人们 提出了表示这些 解的不同形式。下面 分别 介 绍 这些 不同类型 的贝塞尔函数。 第一类贝塞尔函数 图2 0 阶、1 阶和2 阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J 函数）曲线 （在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J 函数”，敬请读者留意。） 第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x = 0 时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在...
