Koch 分形雪花图的面积计算 一、问题叙述 分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。而本文我们要分析的是 Koch 分形雪花图，包含以下三个问题： 1.描述 Koch 分形雪花 2.证明 Koch 分形雪花图Kn 的边数为 n 1L3 4n 3.求 Koch 分形雪花图的面积（数据），求 nnlim Area(K ) 二、问题分析 在分析 Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍 Koch 分形曲线。Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1 所示： 图2.1 对一条线段进行第一次 Koch 分形 然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。这种迭代继续进行下去可以形成 Koch 分形曲线。在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。 设P1 和P2 分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3 以产生第一次迭代图形。显然，Q1 位于P1 右 端直线段的三分之一处 ，Q3 位于P1 点右 端直线段的三分之二处 ，而 Q2 点的位置 可以看 作 由 Q3 绕 Q1逆 时针 旋 转 60 度 而得 到 的，故 可以处 理 Q Q1 3 经过正交变换而得到Q Q1 2 。算法如下： （1） Q1P1+PPQP1+PP/3;（ 2- 1）/3; 32（ 2- 1） （2）TQ2Q1+Q3-QA（1） ; （3） P5P2P2Q1P3QPQ3；；2； 4。 在算法中，用正交矩阵 A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。在绘制 Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为 3 ，则正交矩阵 A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33 1.Koch 分形雪花的描述 Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。根据前面介绍的一条线段的 Koch 分形的原理可知，Koch 分形雪花的形成是对等边三角形的三条边进行 Koch 分形，随着迭代次数的增加，即可形成 Koch 分形雪花图。 2.证明 Koch 分形雪花图 Kn 的边数为 n 1L3 4n 证：对于一条线段，第 1 次迭代生成的图形包...
