三个顶点距离之和最小问题VIP专享

三角形平面上到三个顶点距离之和最小问题 △ABC 平面上到三个顶点距离之和PA+PB+PC 最小的P 点，必满足： （1）当△ABC 最大内角小于120°时，则P 满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°； P 点寻找方法在△ABC 外作正三角形△ABD 和△AEC，这两个正三角形的外接圆交点就是所求之点P（事实上该点也恰好是直线 BE 和 CD 的交点）。 （2）当△ABC 最大内角不小于 120°时，最大角的顶点就是使到三个顶点距离之和PA+PB+PC 最小的 P 点。 【证明】这里首先我们看三个基本结论： （一）若 A、B 为直线 MN 同侧两点，直线 MN 上使 PA+PB 最小的 P 点满足满足光学反射原理（费尔马反射定律）：入射角=反射角。（如果是加权的问题：直线 MN 上使 a PA+ b PB 最小的 P 点满足满足光学折射原理（费尔马折射定律） （二）椭圆的光学性质：椭圆某焦点A 处发出的光线经椭圆周任一点P“反射”后，必到达另一个焦点B， （三）P点必在△ABC 形内（包括边界），不可能在形外。若P在形外： ①P到离它最近一条边的投影点不在这条边内。比如下图，当然是不合适的。取 A 为 P就更好，PB+PC＞AB+AC，PA+PB+PC＞0(即 AA)+AB+AC。 ②P 到离它最近一条边的投影点在这条边上（可以是端点），例如下图P 在AB 上的投影P'在AB 上，则 PA＞P'A，PB+PC＞P'B+P'C ⇒ PA+PB+PC＞P'A+P'B+P'C。 现在，着手证明。 （1）假如△ABC 最大内角小于120°，为证明∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，我们就先来证明 ∠APB=∠APC。 当 PB+PC 值确定时，P 点在以B、C 为焦点的椭圆上，在椭圆上使 PA 最小的Ｐ点应该使 PA 垂直于椭圆在P 点处的切线 MN（即：就是圆 A 与椭圆相切于P），根据椭圆的光学性质，必有∠APB=∠APC。（更充分的理由是反证法，任取另一点P2，显然 AP＜AP2，而 PB+PC=P2B+P2C，所以PA+PB+PC＜P2A+P2B+P2C） 或者在PA 为定值时，P 点在以A 为圆心的圆上，为使PB+PC 最小，P 必然在以B、C为焦点且与圆A 相切的椭圆上，则∠APB=∠APC。否则在圆A 上任取另一点P1，显然P1B+P1C＞QB+QC=PB+PC，由于 P1A=PA，所以 P1A+P1B+P1C＞PA+PB+PC。 （2）当△ABC 最大内角不小于 120°时，因为有前述理由，点P 不可能在△ABC 的形外。但是最大内角不小于 120°，例如∠A≥120°，那么△ABC 的形内的P 点，都有∠BPC＞∠A，即∠BPC＞120°， 所以满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°也不存在。 P 点既不在形外，也不在形内，那么只能在边界上，易知最大角的顶点，就是使PA+PB+PC 最小的 P 点位置的最佳选择。