三 次 数 学 危 机 1-1 什 么 是 数 学 危 机 为 了 讲 清 楚 第 三 次 数 学 危 机 的 来 龙 去 脉 ， 我 们 首 先 要 说 明 什么 是 数 学 危 机 。 一 般 来 讲 ， 危 机 是 一 种 激 化 的 、 非 解 决 不 可 的 矛 盾 。从 哲 学 上 来 看 ， 矛 盾 是 无 处 不 在 的 、 不 可 避 免 的 ， 即 便 以 确 定 无 疑 著称 的 数 学 也 不 例 外 。 数 学 中 有 大 大 小 小 的 许 多 矛 盾 ， 比 如 正 与 负 、 加 法 与 减 法 、微 分 与 积 分 、 有 理 数 与 无 理 数 、 实 数 与 虚 数 等 等 。 但 是 整 个 数 学 发 展过 程 中 还 有 许 多 深 刻 的 矛 盾 ， 例 如 有 穷 与 无 穷 ， 连 续 与 离 散 ， 乃 至 存在 与 构 造 ， 逻 辑 与 直 观 ， 具 体 对 象 与 抽 象 对 象 ， 概 念 与 计 算 等 等 。 在整 个 数 学 发 展 的 历 史 上 ， 贯 穿 着 矛 盾 的 斗 争 与 解 决 。 而 在 矛 盾 激 化 到涉 及 整 个 数 学 的 基 础时， 就产生数 学 危 机 。 矛 盾 的 消除， 危 机 的 解 决 ， 往往给数 学 带来 新的 内容， 新的进展 ， 甚至 引起革命性的 变革， 这也 反映出矛 盾 斗 争 是 事物发 展 的 历史 动力这一 基 本原理 。 整 个 数 学 的 发 展 史 就是 矛 盾 斗 争 的 历 史 ， 斗 争的 结果就是 数 学 领域的 发 展 。 人类最早认识的 是 自然数 。 从 引进零及 负 数 就经历 过 斗 争 ：要 么 引进这些数 ， 要 么 大 量的 数 的 减 法 就行不 通；同样， 引进分 数 使乘法 有 了 逆运算 ——除法 ， 否则许 多 实 际问题也 不 能解 决 。 但 是 接着又出现了 这样的 问题， 是 否所有 的 量都能用有 理 数 来 表示?于是 发 现无 理 数 就导致了 第 一 次 数 学 危 机 ，而 危 机 的 解 决 也 就促使逻 辑 的 发 展和几何学 的 体 系化 。 方程 的 解 导致了 虚 数 的 出现， 虚 数 从 一 开始就被认为 是 “不实 的 ”。 可 是 这种 不 实 的 数 却能解 ...
