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三角形中线等分面积的应用

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第5 讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1,线段AD 是△ABC 的中线,过点A 作AE⊥BC,垂足为E,则S△ABD=12 BD·AE,S△ADC=12 DC·AE,因为BD=DC,所以S△ABD=S△ADC。因此,三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质,可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1 、如图2,长方形ABCD 的长为a,宽为b,E、F 分别是BC 和CD 的中点,DE、BF 交于点G,求四边形ABGD 的面积. 分析:因为E、F 分别是BC 和CD 的中点,则连接CG 后,可知GF、GE 分别是△DGC、△BGC 的中线,而由S△BCF=S△DCE= 4ab,可得S△BEG=S△DFG,所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等,问题得解。 解:连接CG,由E、F 分别是BC 和CD 的中点,所以S△BCF=S△DCE= 4ab,从而得S△BEG=S△DFG,可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于31× 4ab= 12ab,因此S四边形ABGD=ab-4× 12ab= 32ab。 例2 、在如图3 至图5 中,△ABC 的面积为a . (1)如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D,使 CD=BC,连结 DA.若△ACD 的面积为S1,则S1=________(用含 a的代数式表示); (2)如图3,延长△ABC 的边BC 到点D,延长边CA 到点E,使 CD=BC,AE=CA,连结DE.若△DEC 的面积为S2,则S2=__________(用含 a的代数式表示),并写出理由; (3)在图4 的基础上延长AB 到点F,使 BF=AB,连结 FD,FE,得到△DEF(如图6).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含 a的代数式表示). 发现:像上面那样,将△ABC 各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到△DEF(如图1 图2 A B C D E 图4 D E A B C F 图5 图3 A B C D 图6),此时,我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍. 应用:去年在面积为 10m2 的△ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,把△ABC 向外进行两次扩展,第一次由△ABC 扩展成△DEF,第二次由△DEF 扩展成△MGH(如图5).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少 m2? 分析:从第 1 个图可以发现AC 就是△ABD 的中线,第2 个图通过连接 DA,可得到△ECD的中线 DA,后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线,从而求出扩展部分的面积,发现规律。 解:(1)由 CD=BC,可知 AC 就是△ABD 的中线...

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