三角形中线等分面积的应用VIP专享

第5 讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E，则S△ABD＝12 BD·AE，S△ADC＝12 DC·AE，因为BD＝DC，所以S△ABD＝S△ADC。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1 、如图2，长方形ABCD 的长为a，宽为b，E、F 分别是BC 和CD 的中点，DE、BF 交于点G，求四边形ABGD 的面积. 分析：因为E、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF、GE 分别是△DGC、△BGC 的中线，而由S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ= 4ab，可得S△ＢＥＧ=S△ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG，由E、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ= 4ab，从而得S△ＢＥＧ=S△ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于31× 4ab= 12ab，因此S四边形ＡＢＧＤ=ab－4× 12ab= 32ab。 例2 、在如图3 至图5 中，△ABC 的面积为a ． （1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D，使 CD=BC，连结 DA．若△ACD 的面积为S1，则S1=________（用含 a的代数式表示）； （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D，延长边CA 到点E，使 CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC 的面积为S2，则S2=__________（用含 a的代数式表示），并写出理由； （3）在图4 的基础上延长AB 到点F，使 BF=AB，连结 FD，FE，得到△DEF（如图6）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含 a的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图1 图2 A B C D E 图4 D E A B C F 图5 图3 A B C D 图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍． 应用：去年在面积为 10m2 的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少 m2？ 分析：从第 1 个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2 个图通过连接 DA，可得到△ECD的中线 DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。 解：（1）由 CD=BC，可知 AC 就是△ABD 的中线...