- 1 - 第9 讲 几何综合题 几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3 个问题，解答这种题一般用分析综合法． 典型例题精析 例1．如图，已知⊙O 的两条弦AC、BD 相交于点Q，OA⊥BD． （1）求证：AB2=AQ·AC： （2）若过点C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于点P，求证：PC=PQ． COBAQEDP 分析：要证AB2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB． 有一个公共角∠QAB=∠BAC，•∴ 只 需 再 证明一个角相等即 可 ． 可 选 定 两个圆周 角∠ABQ=∠ACB 加 以证明，以便 转 化 ，题目中有垂 直 于弦的直 径 ，可知AB=AD，AD 和 AB 所 对 的圆周 角相等． （2）欲 证PC=PQ， 是 具 有公共端 点的两条线段 ， ∴ 可 证∠PQC=∠PCQ（等角对 等边 ） 将 两角转 化 ，一般原 地 踏 步 是 不 可 能 证明出 来 的，没 有那 么 轻松愉快的题目给你做，因为数学是 思维的体操． ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直 角三角形中互余关系） ∠PCA 是 弦切角，易发现应延长AO 与⊙交于E，再 连结EC，•利用弦切角定 理得∠PCA=∠E，同时也得到 直 径 上 的圆周 角∠ACE=90°， ∴ ∠PCA=∠E=90°-∠1． 做几何证明题大 家 要有信 心 ，拓 展 思维，不 断 转 化 ，寻 根 问底 ，不 断 探 索 ，•充分发挥 题目中条件 的总 体作用，总 能 得到 你想 要的结论 ，同时也要做好 一部 分典型题，•这样有利于做题时发生 迁 移 ，联 想 ． - 2 - 例2．如图，⊙O1 与⊙O2 外切于点C，连心线O1O2 所在的直线分别交⊙O1，⊙O2 于A、E，•过点A 作⊙O2 的切线AD 交⊙O1 于B，切点为D，过点E 作⊙O2 的切线与AD 交于F，连结BC、CD、•DE． （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE 的值； （2）在（1）的条件下，求sinA 和tan∠DCE 的值； （3）当AC：CE 为何值时，△DEF 为正三角形？ O2O1CBAEDF 分析：（1）根据题的结构实质上证明△ADC∽△AED，进而可求AC，CE，设CD=2x，•则AC=x，易证△ADC∽△AED， ∴ADACAEAD， ∴22xxAEx， ∴AE=4x， ∴CE=AE-AC=3x， ∴AC：CE=x：3x=1：3（此题凭经验而做） （2）求sinA，必须在直角三角形中，现存的有Rt△ABC 和Rt△AEF，但都只知一边无法求sinA ∴另想办法，连结DO2，则DO2= 32 x， 且∠ADO2=90°，AO2=x+ 32 x=...
