专题求递推数列通项的特征根法

递归数列通项公式的求法 确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。 基础知识 定义：对于任意的*Nn，由递推关系),,,(21knnnnaaafa确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项kaaa,,,21的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法： 一．公式法 (1)设}{na是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为dmnaamn)( ； (2)设}{na是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为mnmnqaa； (3)已知数列的前n 项和为nS ，则)2()1(11 nnSSSannn。 二．迭代法 迭代恒等式：112211)()()(aaaaaaaannnnn； 迭乘恒等式： 112211aaaaaaaannnnn，(0na) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题： 类型一：已知)(,11nfaabann，求通项na ； 类型二：已知nnanfaba)(,11，求通项na ； 三．待定系数法 类型三：已知)1(,11pqpaabann，求通项na ； 四．特征根法 类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为nnnqxpxx12（0,,1， qqpn为常数），其特征方程为qpxx2，其根为特征根。 （1）若特征方程有两个不相等的实根 ,，则其通项公式为nnnBAx（1n），其中A、B 由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根 ，则其通项公式为1)1([nnnBAx（1n），其中A、B 由初始值确定。 证明：设特征根为,，则,p q 所以12 nnxx=11nnnxqxpx=nnqxxp1)(=nnxx1=)(1nnxx 即}{1nnxx是以 为公比，首项为 )12xx的等比数列。 所以1121)(nnnxxxx，所以2121)(nnnxxxx (1)当 时，则其通项公式为nnnBAx，其中)(12xxA，)(12xxB； (2)当 时，则其通项公式为1)]1([nnnBAx，其中121 ,xxBxA 4.（改编）已知数列 nx 12x 且1432nnnxxx 则数列 nx的通项公...