信号与线性系统题解 阎鸿森 第四章 习题答案 4.1 由于复指数函数是LTI 系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI 系统分析中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI 系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一．．能够成为一切．．LTI 系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一结论。 (a) 对单位冲激响应( )( )h tt的LTI 系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。 (b) 如果一个LTI 系统的单位冲激响应为( )()h ttT，找出一个信号，该信号不具有ste 的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2 和2，但不是复指数函数。 提示：可以找出满足这些要求的冲激串。 (c) 如果一个稳定的LTI 系统的冲激响应( )h t 是实、偶函数，证明cost 和sint 实该系统的特征函数。 (d) 对冲激响应为( )( )h tu t的LTI 系统，假如( )t是它的特征函数，其特征值为 ，确定( )t应满足的微分方程，并解出( )t。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。 解：(a) ( )( )h tt的LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值 为1。 (b) ( )()h ttT， ( )()x tx tT。如果( )x t 是系统的特征函数，且特征值为1，则应有( )()x tx tT。满足这一要求的冲激序列为( )()kx ttkT。 若要找出特征值为1/2 或 2 的这种特征函数，则可得： 1( )( )()2kkx ttkT， 特征值为1/2。 ( )2()kkx ttkT， 特征值为2。 (c) 1cos()2j tj ttee ()()1( )( )( )( )211( )( )22jtjtj tjj tjy th tx theedehedehed ( )h t 为实、偶函数 ( )( )jjhedhed 1( )()( )cos()2j tj tjy teehedt H j 同理可证sint 。 (d) ( )( )h tu t '( )( )( )y tx t dty tty tt 于是 ( )ttce 4.2 求下列信号的傅里叶级数表示式。 (a) ( )cos4cos6x ttt (b) ( )x t 是以 2 为周期的信号，且 ( ),11tx tet...
