1 1 常 微 分 方 程 及 其 数 值 解 法 1.1 常 微 分 方 程 概 述 在 数 学 上 ， 物 质 的 运 动 和 变 化 规 律 是 通 过 函 数 关 系 来 表 示 的 ， 在 一 些 复 杂 的 现 象 中 ， 我 们 要 求 的 未 知量 就 变 成 了 满 足 特 定 条 件 的 一 个 或 一 些 未 知 函 数 。 有 的 时 候 ， 我 们 需 要 利 用 导 数 或 者 微 分 的 关 系 ， 即 这 些未 知 函 数 的 导 数 与 自 变 量 满 足 某 种 关 系 ， 这 种 方 程 我 们 称 之 为 微 分 方 程 。 未 知 函 数 是 一 元 函 数 的 微 分 方 程称 之 为 常 微 分 方 程 ， 未 知 函 数 是 多 元 函 数 的 微 分 方 程 我 们 称 之 为 偏 微 分 方 程 ， 我 们 这 里 只 考 虑 常 微 分 方 程 。 常 微 分 方 程 的 解 ， 就 是 找 出 一 个 代 入 方 程 使 之 成 为 恒 等 式 的 函 数 。 若 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 数 的个 数 与 方 程 阶 数 相 同 ， 且 任 意 常 数 之 间 不 能 合 并 ， 则 称 此 解 为 该 方 程 的 通 解 。 当 通 解 中 的 各 任 意 常 数 都 取特 定 值 时 所 得 到 的 解 ， 称 为 方 程 的 特 解 。 在 实 际 问 题 中 ， 这 些 函 数 往 往 还 需 要 满 足 一 些 特 定 条 件 ， 这 称 之为 定 解 条 件 。 但 在 实 际 问 题 中 ， 很 多 常 微 分 方 程 的 解 析 表 达 式 过 于 复 杂 ， 甚至得 不 到 通 解 的 解 析 表 达 式 。 而且 ， 常微 分 方 程 的 特 解 是 否存在 ， 存在 几个 特 解 ， 这 涉及 到 微 分 方 程 解 的 存在 性和 唯一 性定 理。 因此 ， 在 实 际 应用 中 ，我 们 通 常 利 用 数 值 的 方 法 来 求 得 方 程 的 数 值 解 ，在 误差允许的 范围内，我 们 用 数 值 解 来 替代 解 析 解 。所 以， 研究常 微 分 的 数 值 解 法 是 很 有 必要 的 。 2.2 常 微 分 方 程 的 数 值 解 法 常 微 分 方 ...
