全国卷历年高考立体几何真题归类分析

1 全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案） 类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.（2014 年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC； (Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD 的体积. 2.（2015 年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 3.（2015 年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过点 E，F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF 与平面α 所成角的正弦值. 2 4.（2016 年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥PABC中，PA  底面面ABCD ，AD ∥BC ，3ABADAC，4PABC，M 为线段AD 上一点， 2AMMD，N 为PC 的中点． （I）证明MN平面PAB ；（II）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.（2017 全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12ABBCAD，o90BADABC ， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45 ，求二面角MABD的余弦值. EMDCBAP 类型二：证建系（1）——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。这类题，第（Ⅰ）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（Ⅱ）问证明的条件。第（Ⅱ）小问开始需要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系。 6.（2011 年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：...