1991考研数二真题及解析

xye2xye精品文档---下载后可任意编辑一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1) 设,则＿＿＿＿＿＿.(2) 曲线的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.(3) ＿＿＿＿＿＿.(4) 质点以速度米每秒作直线运动,则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5) ＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 若曲线和在点处相切,其中是常数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设函数记,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设函数在内有定义,是函数的极大点,则 ( )(A) 必是的驻点 (B) 必是的微小点(C) 必是的微小点 (D) 对一切都有(4) 曲线 ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图,轴上有一线密度为常数,长度为的细杆,有一质量为的质点到杆右端的距离为,已知引力系数为,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )(A)(B)(C)(D)三、(每小题 5 分,满分 25 分.)(1)设,求.(2)计算.(3)求.(4)求.(5)求微分方程满足的特解.四、(本题满分 9 分)利用导数证明：当时,有不等式成立.五、(本题满分 9 分)求微分方程的通解.六、(本题满分 9 分)曲线和轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分 9 分)如图,和分别是曲线和上的点,和均垂直轴,且,,求点和的横坐标,使梯形的面积最大.精品文档---下载后可任意编辑八、(本题满分 9 分)设函数在内满足,且,计算.1991 年全国硕士讨论生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】由复合函数求导法则,即的微分为,有.(2)【答案】【解析】求函数的凹凸区间,只需求出,若,则函数图形为上凹,若,则函数图形为上凸,由题可知.因为,所以当时,函数图像上凸,即时,函数图像上凸.故曲线上凸区间为.(3)【答案】【解析】用极限法求广义积分..(4)【答案】【解析】这是定积分的应用.设在时刻的速度为,则在时间内的路程为,所以从时刻秒到秒内质点所经过的路程为.(5)【答案】【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以,得.为简化计算,令,则,原式可化为.二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对求导,得,则该曲线在点处的导...