关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

关 于 “一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90º，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。 “一线三垂直”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 “一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种： 其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。 【例1】如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，AE⊥CE 于点 E，BD⊥CE 于点 D，AE=5cm，BD=2cm，则DE 的长为多少？ 【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm） 【例2】如图，在△ABC 中，CA=CB，点D 为BC 中点，CE⊥AD 于点E，交AB 于点F，连接DF。求证：AD=CF+DF. 【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。 从要证明的结论来看，需要把AD 这条线段“转化”到直线CF 上。如图，过点B 作BG⊥CB，交CF 的延长线于点G。 则易证△ACD≌△CBG，于是AD=CG=CF+FG； BG=CD=BD，BF=BF，∠DBF=∠GBF=45º， 故△BDF≌△BGF，于是FD=FG，所以 AD=CF+DF。 关 于 “一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（二） “一线三垂直”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90º，分别过 B，C 向过 A 点的直线作垂线，垂足分别为 E，F。 （1）如图1，过点 A 的直线与斜边BC 不相交时，求证：EF=EB+CF； （2）如图2，过点 A 的直线与斜边BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3.求EF 的长。 【提示】（1）图1 是“一线三垂直”的基础模型，△ABE≌CAF； （2）图2 是“一线三垂直”的变形4，和【例1】相同。 【例4】如图，已知△AEB 中，∠AEB=90º，以 AB 为边向外作正方形ABCD，连接AC、BD，交于点 O，连接 EO。若 BE=2，EO=3√2，求五边形AEBCD 的面积。 【解析】因为∠ABC=∠AEB=90º，故构造“一线三垂直”模型，如图。 过点C...