华罗庚学校数学教材(五年级下)第05讲同余的概念和性质

——1本系列共 15讲第五讲同余的概念和性质.文档贡献者：与你的缘你会解答下面的问题吗？问题 1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？这个问题并不难答，因为，一个星期有 7天，而 15÷7=2…1，即 15=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一。问题 2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们。因为，1993年有 365天，而 365=7×52＋1，所以，1994年的元旦应该是星期六。问题 1、2的实质是求用 7去除一总的天数后所得的余数。在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题。这样就产生了“同余”的概念。如问题 1、2中的 15与 365除以 7后，余数都是 1，那么我们就说15与 365对于模 7同余。余同定义：若两个整数 a、b被自然数 m除有相同的余数，那么称 a、b对于模 m同余，用式子表示为：a≡b(modm)(*)——2上式可读作：a同余于 b，模m。同余式(*)意味着（我们假设a≥b）:a－b=mk，k是整数，即 m︱(a－b).例如：①15≡365（mod7），因为365－15=350=7×50。②56≡20（mod9），因为56－20=36=9×4。③90≡0（mod10），因为90－0=90=10×9。由例③我们得到启发，a可被 m整除，可用同余式表示为：a≡0(modm).例如，表示 a是一个偶数，可以写a≡0(mod2)表示 b是一个奇数，可以写b≡1(mod2)补充定义：若 m不能整除（a－b），就说a、b对模 m不同余，用式子表示是：a b(modm)我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。同余式有如下一些性质（其中 a、b、c、d是整数，而 m是自然数）。性质 1：a≡a(modm)，（反身性）这个性质很显然，因为 a－a=0=m·0.——3性质 2：若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，（对称性）。性质 3：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，（传递性）。性质 4：若 a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么 a±c≡b±d(modm)，（可加减性）。性质 5：若 a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么 ac≡bd(modm)，（可乘性）。性质 6：若a≡b(modm)，那么 an≡bn(modm)，（其中n为非 0自然数）。性质 7：若ac≡bc(modm)，(c，m)=1，那么a≡b(modm)。注意：同余式性质 7的条件(c，m)=1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如 6≡10(mod4)，而3 5(mod4)，因为（2，4）≠1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号...