卡方分布及其它分布

1 卡方分布 一、 卡方分布的定义： 若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这 n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2 构成一新的随机变量，其分布规律称为 χ2(n)分布（chi-square distribution），其中参数 n 称为自由度。 二、 卡方分布的性质：: （1） (可加性) 设iY ~且相互独立，则,,,1,,2kiiin ,~2,1nkYY 这里.,iinn （2） ,)(2, nEn .42)(2, nVarn 证明 （1）根据定义易得。 （2）设则依定义，,~2,nY可表示为Y ,22121nnXXXY 其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~NXniNXni )2(.)()()1(,)()(1212niiniiXVarYVarXEYE 因为 ,1,1)()()(22iiiXEXVarXE.,1,,1nini 代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得 .36,1,,1,3244niEXniEX 于是 ,1,,1,213)()(2242niEXEXXVariii .42)()(2242nnnEXEXXVar 2 代入（2）便证明了第二条结论。 三、 卡方分布的概率密度函数：  ，其他当00,22121222xexnxfxnnx 数）。现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n,....1NXX 的分布。2^.....2^2^1n  2^x2^x21^2n^n21n1n1的密度函数为，  xxxdDXPPozzXPPn2^2^21-2n2n2122n2121en21zzz0z0z时，当时，当 其中 Dx 为 n 维 x 空间内由不等式zxxn 221 所定的区域。 即，Dz 为 n 维 x 空间内以坐标原点为球心、 z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内） 可以利用极坐标来计算这积分。令 11112121211cossin2cossinsincossinsinsinnnnnnnnrxrxrxrx 与这变换相应的函数行列式为： 3          1-n111,,,,,rrrrrrrrxxnn 其中括号和都表示1,,1n的函数。因此。当 z>0 时，  CPz z0drr-1-n2n22r21z C 是常数。...