卷积与傅里叶变换攻略

Only for DM07 大家都知道，傅里叶和卷积之间变换和证明的题目是图像处理中最难的一块，我这里写一下我的心得以及收集的一些例题。 首先第一个问题，定义公式太多，而且又很复杂。其实呢，真正有用的公式只有 4个。 课本里的公式只是同一个公式在离散空间、连续空间、一维空间、二维空间的不同应用。我们理解哪一个？只要理解离散二维空间中的傅里叶变换公式： 很多人又奇怪了，为什么有的公式里有三角函数？其实是因为应用了一个欧拉代换，朝姐姐讲到这个代换的时候总是一句话带过，还真以为我们高中学过了。 也就是说，有了上面三个公式，我们就可以在所有傅里叶定义之间切换，但是实际做证明题的时候也只需要这三个公式。 接着记住，傅里叶只有一个性质——平移性质。期中考最后一题我就是因为当时还没认识到这个性质的使用。 上面那个 0是属于 x的，x0，这是一维的，找不到二维的公式，但因为 XY方向是无关的，所以如果同时移动 x和 y方向只要将再乘多一个上去。注意这里 j的符号，以及将x替换为 y，M替换为 N，u替换为 v。 最后的最后还要知道一个大前提，那就是卷积定理，证明一般从它开始。 漏了一个常用的傅里叶变换——二阶二维拉普拉斯算子变换，虽然可以通过以上公式推导，但是记住它可以节省较多的时间。 课本210页要折起来，全部公式都在里面。 期中试题最重要，这里做多一遍： 1． 设仅利用像素点（x，y）的4-近邻像素（不用点（x，y））组成一个低通滤波器。 （1） 给出它在频域的等价滤波器 H（u，v）; （2） 证明所得结果确实是一个低通滤波器。 已知：f(x,y)*h(x,y) = 1/4[f(x-1,y) + f(x+1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1)] F(u,v)*H(u,v) = 1/4[F(u,v)ej2π u/M +F(u,v) e-j2π u/M +F(u,v) e-j2π v/N+F(u,v) ej2π v/N] =F(u,v)*1/4[cos(2π u/M)+j*sin(2π u/M)+ cos(2π u/M)-j*sin(2π u/M)+ cos(2π v/N)+j*sin(2π v/N)+ cos(2π v/N)-j*sin(2π v/N)] =F(u,v)*1/4[2 cos(2π u/M)+2 cos(2π v/N)] =F(u,v)*1/2[cos(2π u/M)+ cos(2π v/N)] 等式两边同除以 F(u,v)，得 H(u,v)= 1/2[cos(2π u/M)+ cos(2π v/N)] 可见，当 u=v=0，即取中心点时，H（u，v）取最大值 1，所以是低通滤波器。 从上面证明过程可以看出，依次使用了卷积定理、平移性质、欧拉定理。以下是相关课后习题中文版。 一．证明如式 所示的拉普拉斯变换是各向同性的（...