同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分

1 第二篇 一元函数微积分 第二章 导数与微分 微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用． 第1 节 导数的概念 1 .1 导数概念的引入 1 .1 .1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题 现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间 t 的函数关系式记为( )ss t，求在0t 时刻时质点的瞬时速度0( )v t为多少？ 整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t 改变到时刻0tt  ，在时间增量t 内，质点经过的路程为00()( )ss tts t  ，在 t 时间内的平均速度为 00()( )s tts tsvtt ， 当时间增量t 越小时，平均速度v 越接近于时刻0t 的瞬时速度0( )v t，于是当0t 时，v 的极限就是质点在时刻0t 时的瞬时速度0( )v t，即 000000()( )( )limlimlimttts tts tsv tvtt    ． 1 .1 .2 平面曲线的切线斜率问题 已知曲线:( )C yf x，求曲线C 上点000(,)Mxy处的切线斜率． 欲求曲线C 上点000(,)Mxy的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限． 图 2-1 2 如图 2-1 所示，取曲线C 上另外一点00(,)M xx yy  ，则割线0M M 的斜率为 000()()tanM Mf xxf xykxx ． 当点 M 沿曲线C 趋于0M 时，即当0x 时，0M M 的极限位置就是曲线C 在点0M的切线0M T ，此时割线的倾斜角 趋于切线的倾斜角 ，故切线的斜率为 00000()()lim tanlimlimxxxf xxf xykxx    ． 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质——导数． 1 .2 导数...