一元多项式最大公因式的求法

精品文档---下载后可任意编辑摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论讨论中占有显著地位.求两个多项式的最大公因式，一般采纳因式分解法和辗转相除法.本文还试图从：将两种方法结合起来矩阵的初等变换法矩阵的斜消变换法以及数值矩阵法等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法.关键词因式分解法；辗转相除法；斜消变换法；矩阵初等变换 一 引言最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般主要讨论两个多项式的最大公因式的求法，方法主要有因式分解法和辗转相除法．考虑个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此求多个多项式的最大公因式需要多次对两个多项式进行运算．为了改进运算方法,我们给出以下的矩阵初等变换法，斜消变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽然不尽完善，但也是一种很大的突破．本文将在此基础之上对求最大公因式的方法进一步作一个较全面的探讨．二 问题的提出在高等代数教材中，有如下定义和定理：定义 1 假如多项式ϕ (x )既是f (x ) 的因式，又是g (x )的因式，那么ϕ (x )就称为f (x ) 与g (x )的一个公因式.定义 2 设f (x ) ，g (x )是P[ x]中两个多项式.P[ x]中多项式d (x )称为f (x ) ，g (x )的一个最大公因式，假如它满足下面两个条件：1）d (x )是f (x ) ，g (x )的公因式；2）f (x ) ，g (x )的公因式全是d (x )的因式.我们约定，用(f (x ), g (x )) 来表示最高次项系数为 1 的那个最大公因式.三问题的解决由定义 1 和定义 2 我们很容易得到一种求多项式的最大公因式的方法—因式分解法.因式分解法利用两个（多个）多项式的标准分解式可以很快地得到它们的最大公因式.如：设多项式f ( x)与g( x)的标准分解式分别为：f ( x)= ap1m1( x) p2m2( x)⋯prmr( x); g( x)=bp1n1( x) p2n2( x)⋯⋯prnr( x)（上式a,b 分别是 f(x),g(x)的首项系数.p1( x )⋯, pr(x )）是两两不等的首项系数为 1 的不可约多项式，m1,⋯mr ,n1,⋯nr 是非负整数，则(f ( x),g( x))=p1k 1( x) p2k 2( x)⋯prkr( x)这里k i=min(mi,ni),i=1,2,⋯,r例 3.1.1 证明∀ n≥0,( x2+x+1, xn+2−(x+1)2n+1)=1证明：( x+1)2n+1=(x+1)(x2+2x+1)n=[( x2+x+1)+x ]n( x+1)=( x+1)( x2+x+1)n+⋯+( x+1)xn最后一项xn+2−( x+1) xn=...