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1 一个简单例子证明存在两个无理数x , y ，使z=x y 是有理数[1]传统证明方法是，假设对于任何两个无理数x , y ，都有z=x y 是无理数
那么就有(√2)√2一定是无理数，进而[(√2)√2]√2也是无理数，而[(√2)√2]√2=(√2)2=2是有理数，所以假设不成立而我们假如令x=√2, y=log2 9，我们已知和log 29都是无理数，此时x y=( √2)log29=2log23=3是有理数，问题得证
上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法
构造法的进展历史到底什么是构造法呢
构造法就是根据固定方式，经过有限步骤能够实现的方法
引用韦尔（H
Weyl）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造
”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学进展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的
除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆
构造法起源于数学之初，但它的进展是在 19 世纪末
19 世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派
但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂
随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法
但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解
直到 1867 年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成
时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地
3 中学数学需要数学构造法
