精品文档---下载后可任意编辑共归纳了五大类，16 种放缩技巧，30 道典型例题及解析，供日后学习使用。一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和（2）放缩成差比数列再错位相减求和（3）放缩成可裂项相消再求和（4）数列和比大小可比较单项二、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二项式定理（3）利用不动点定理（4）利用二次函数性质三、累加、累乘（1）累加法（2）利用类等比数列累乘四、证明不等式常用方法（1）反证法（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论五、其它方法（1）构造新数列（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（4）符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和[典例 1]已知数列，，，。（Ⅰ）求证：当时：；（Ⅱ）记，求证。[解析]（Ⅰ）令，得（*）；又，，两式相减得，即与同号（**）；由（*）、（**）得；（Ⅱ）令，得；由（Ⅰ）得单调递减，即；所以；即。[典例 2]已知数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：。[解析]（Ⅰ）由得，即；所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；所以[典例 3]设数列满足，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求正整数，使最小。精品文档---下载后可任意编辑[解析]（Ⅰ）因为，且，即数列递增，所以，则，累加得，即，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，且；累加得；即，所以；所以正整数，使得最小。（2）放缩成差比数列再错位相减求和[典例 1]已知数列满足：，，求证：。[解析]因为an+1=(1+ n2n )an，所以an+1与同号；又因为a1=1>0 ，所以an>0 ，即an+1−an= n2n an>0，即an+1>an，所以数列为递增数列，所以an≥a1=1，即an+1−an= n2n an≥ n2n ；累加得：an−a1≥12 + 222+⋯+ n−12n−1 ；令Sn=12+ 222 +⋯+ n−12n−1 ，所以12 Sn= 122+ 223 +⋯+ n−12n，两式相减得：12 Sn=12+ 122 + 123+⋯+12n−1−n−12n，所以Sn=2−n+12n−1 ，所以an≥3−n+12n−1；故得an+1>an≥3−n+12n−1 。[典例 2]已知数列与其前项和满足。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：。[解析]（Ⅰ）设公差为，所以，解得，所以；因为，所以，两式相减得；将代入原等式，解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以（糖水原理）；所以，有错位相减法得，所以，。（3）放缩成可裂项相消再求和[典例 1]已知。求证：。[解析]即证；因为；精品文档---下载后可任意编辑所以；即证；记，下证；因为；所以，即原不等式成立。[典例 2]...
