P1P2P3Q1Q2O精品文档---下载后可任意编辑1．如图，直线l1: y=kx+1−k( k≠0,k≠±12 )与y=12 x+ 12 相交于点 P.直线 l1与 x 轴交于点 P1，过点 P1作x 轴的垂线交直线 l2于点 Q1，过点 Q1作 y 轴的垂线交直线 l1于点 P2，过点 P2作 x 轴的垂线交直线 l2于点 Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点 P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列{xn}.（Ⅰ）证明xn+1−1= 12k (xn−1),n∈N∗¿ ¿； （Ⅱ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅲ）比较2|PPn|2与4 k2|PP1|2+5的大小.【解析】（Ⅰ）证明：设点 Pn的坐标是( xn, yn)，由已知条件得点 Qn、Pn+1的坐标分别是：( xn, 12 xn+ 12 ),( xn+1, 12 xn+ 12 ).由 Pn+1在直线 l1上，得 12 xn+ 12=kxn+1+1−k .所以 12( xn−1)=k( xn+1−1), 即 xn+1−1= 12k ( xn−1),n∈N∗.（Ⅱ）解：由题设知 x1=1−1k , x1−1=−1k ≠0,又由（Ⅰ）知 xn+1−1= 12k ( xn−1)，所以数列 {xn−1}是首项为x1−1,公比为12k 的等比数列.从而 xn−1=−1k ×( 12k )n−1,x即 n=1−2×( 12k )n ,n∈ N∗.（Ⅲ）解：由{y=kx+1−k,¿¿¿¿得点 P 的坐标为（1，1）. 所以2|PPn|2=2( xn−1)2+2( kxn+1−k−1)2=8×( 12k )2n+2( 12k )2n−2,4 k2|PP1|2+5=4k 2[(1−1k −1)2+(0−1)2 ]+5=4k 2+9.（i）当|k|> 12 ,k即 <−12k或 > 12 时，4 k2|PP1|2+5>1+9=10.而此时 0<| 12k|<1,所以2|PPn|2<8×1+2=10.故2|PPn|2<4k 2|PP1|2+5.（ii）当时，4 k2|PP1|2+5<1+9=10.而此时 | 12k|>1,所以2|PPn|2>8×1+2=10.故2|PPn|2>4 k2|PP1|2+5.EX：已知点Pn(an ,bn) 都在直线l : y=2 x+2 上，为直线与轴的交点，数列{an}成等差数列，公差为 1. （n∈N +）(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{|12−bn|}的前项和.(3)求证：1|P1 P2|2+1|P1P3|2+…… +1|P1 Pn|2< 25 (2, n∈N +)【解析】(1) P1(−1,0),an=n−2,bn=2n−2 4 分（2）令=12−bn=14−2n则它的前项的和=13n−n2 ，c7=0={13n−n2(n≤7)¿¿¿¿ 4 分 (3) Pn(n−2,2n−2), P1(−1,0)∴|P1Pn|=√5(n−1)(n≥2) 2 分∴1|P1 P2|2 +1|P1 P3|2+⋯+1|P1 Pn|2=15[1+ 122 + 132 +⋯+1(n−1 )2]¿ 15[1+ 11×2 + 12×3+⋯+1(n−2) (n−1)]=15[1+1−1(n−1)]=15(2−1( n−1))< 25 4 分2、如图，曲线上的点与 x 轴的正半轴上的...
