P1P2P3Q1Q2O精品文档---下载后可任意编辑1．如图，直线l1: y=kx+1−k( k≠0,k≠±12 )与y=12 x+ 12 相交于点 P
直线 l1与 x 轴交于点 P1，过点 P1作x 轴的垂线交直线 l2于点 Q1，过点 Q1作 y 轴的垂线交直线 l1于点 P2，过点 P2作 x 轴的垂线交直线 l2于点 Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点 P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列{xn}
（Ⅰ）证明xn+1−1= 12k (xn−1),n∈N∗¿ ¿； （Ⅱ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅲ）比较2|PPn|2与4 k2|PP1|2+5的大小
【解析】（Ⅰ）证明：设点 Pn的坐标是( xn, yn)，由已知条件得点 Qn、Pn+1的坐标分别是：( xn, 12 xn+ 12 ),( xn+1, 12 xn+ 12 )
由 Pn+1在直线 l1上，得 12 xn+ 12=kxn+1+1−k
所以 12( xn−1)=k( xn+1−1), 即 xn+1−1= 12k ( xn−1),n∈N∗
（Ⅱ）解：由题设知 x1=1−1k , x1−1=−1k ≠0,又由（Ⅰ）知 xn+1−1= 12k ( xn−1)，所以数列 {xn−1}是首项为x1−1,公比为12k 的等比数列
从而 xn−1=−1k ×( 12k )n−1,x即 n=1−2×( 12k )n ,n∈ N∗
（Ⅲ）解：由{y=kx+1−k,¿¿¿¿得点 P 的坐标为（1，1）
所以2|PPn|2=2( xn−1)2+2( kxn+1−k−1)2=8×( 12k )2n+2( 12k )2n−2,4 k2|PP1|2+5=4k 2[(1−1k −1)2+(0−1)2 ]+5=4k 2+9
（i）当|k|> 12 ,k即 12 时，4 k2|PP1|2+5>1
