曲面的切平面和法线计算例题

精品文档---下载后可任意编辑第三节曲面的切平面和法线、光滑曲面1、平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 F( x, y)=0 ,P0( x0, y0)是其上一定点。在该点的切线斜率为y'( x0)=− Fx' ( x0 , y0)F y' ( x0, y0).从而曲线过点P0( x0, y0)的切线方程为y− y0=−F x' ( x0, y0)F y' (x0 , y0) ( x−x0),即，(1)法线方程为，(2)例 1、 求笛卡尔叶形线2( x3+ y3)−9 xy=0 在点(2,1)处的切线与法线.解F( x, y)=2( x3+ y3)−9 xy,Fx' =6 x2−9 y,F y' =6 y2−9 x.Fx' (2,1)=15,F y' (2,1)=−12,得到切线方程 5( x−2)−4( y−1)=0,即5 x−4 y=6;法线方程 4( x−2)+5( y−1)=0,即4 x+5 y=13.如图(1)所示. 图(1)2、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程为x=x(t ), y=y(t ),z=z(t ),α≤t≤β .定点P0( x0, y0, z0)∈L,x0=x(t0), y0=y(t0), z0=z(t0),动点P( x , y , z)=P( x0+Δx, y0+ Δy ,z0+Δz)∈ L.动割线P0 P的方程为x−x0ΔxΔt= y−y0ΔyΔt=z−z0ΔzΔt ,当Δt →0时,动点沿曲线无限接-3-2-11234-3-2-11234P0精品文档---下载后可任意编辑近定点P0,达到动割线P0 P的极限位置: ，(3) 。过P0且与切线垂直的平面叫做曲线在点的法平面,其方程为x'(t0)( x−x0)+ y'(t0)( y− y0)+ z'(t0)( z−z0)=0…… (4)例 2 求螺旋线x=√2cost, y=√2sint, z=t 在点(1,1, π/4)的切线方程与法平面方程.解 切向量为⃗τ={−1,1,1},切线方程为 x−1−1 = y−11=z−π /41 ;法平面方程为−(x−1)+( y−1)+( z−π /4)=0,即x−y−z+π /4=0. 图(2)螺旋线的切线与法平面3 曲面的切平面与法线设曲面的一般式方程为 F( x, y ,z )=0，z=z( x , y )是由该方程确定的隐函数，则∂ z∂ x =−F x'Fz' ，∂ z∂ y =− F y'F z' .设P(x0, y0, z0)∈ S,令A=Fx' ( x0, y0, z0),B=F y' ( x0 , y0,z0),C=Fz' (x0 , y 0,z0),则曲面在点的切平面方程的法向量可表为n={A ,B,C }…… (5)于是切平面的方程为A( x−x0)+B( y− y0)+C( z−z0)=0;法线方程为x−x0A= y− y0B= z−z0C .定理 设曲面的一般式方程为 F( x, y ,z )=0，P(x0, y0, z0)∈ S,n={A ,B,C }≠(0,0,0).设曲线:x=x(t ), y=y(t ),z=z(t )是曲面上过点的任意一条可微分曲线,x0=x(t0), y0=y(t0), z0=z(t0),为在点的切线,则l⊥⃗n.证...