专题02 单中点与双中点模型有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;③ 等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。模型一、双中点-中位线模型如图，D、E、F 分别为△ABC 三边中点，连接 DE、DF、EF,则律梟「，川丄”{',亍\打.例.如图，在 Rt^ABC 中，^ACB=90°,AC=BC,过点 C 作 CD^AB,垂足为 D,点 E 为 BC 的中点，AE 与 CD交于点 F,若 DF 的长为丰，则 AE的长为（）A.<2B.2 迈 C•厉D.2*5【变式训练 1】如图，在△MC 的两边 AB、AC 向形外作正方形 ABDE 和 ACFG，取 BE、BC、CG 的中点M、Q、N.求证：MQ=QN.E【变式训练 2】如图，在平面直角坐标系中，AOAB 的顶点 B 在 x 轴正半轴上，顶点 A 和边 AB的中点 C 均【变式训练 3】如图，在 AABC 中，ZACB=60°,AC=1,D 是 AB 的中点，E 是 BC 上一点，若 DE 平分厶 ABC 的周长，则 DE 的长为模型二、单中点-倍长中线模型例.如图，CE、CB 分别是 AABC 与 AADC 的中线，且 ZACB=ZABC，AC=AB.求证：CD=2CE.DAACBE图【变式训练 1】已知，在 Rt△ABC 中，ZBAC=90。，点 D 为边 AB 的中点，AE 丄 CD 分别交 CD,BC 于点F，E．AA图 1(1)______________________________________________________如图 1，①若 AB=AC，请直接写出ZEAC-ZBCD=；② 连接 DE，若 AE=2DE，求证：ZDEB=ZAEC；(2) 如图 2,连接 FB，若 FB=AC，试探究线段 CF 和 DF 之间的数量关系，并说明理由.【变式训练 2】如图①，点 O 为线段 MN 的中点，PQ 与 MN 相交于点 O,且 PM〃NQ,可证△PMO^bQNO.根据上述结论完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形 ABCD 中，AB//DC,E 为 BC 边的中点，/BAE=/EAF,AF 与 DC 的延长线相交于点 F 试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC=1：2,ZBAE=ZEDF，CF//AB.若 AB=4,CF=2，求DF 的长度.【变式训练 3】如图，过边长为 3 的等边△血 C 的边 AB 上一点 P,作 PE 丄 AC 于 E,Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D,则 DE 的长为.模型二、单中点-“三线合一”模型如图，在 AABC 中，AB=AC,D...
