高中数学：导数极值点偏移问题

于Jlnx 一 mx=0 亠］lnx 一 mx=0 有22m=lnx+lnx12x+x导数极值点偏移问题知识整合：已知函数 f(x)的图象的顶点的横坐标就是极值点 x0,若 f(x)=c 的两根的中点刚好满足x+x—122=x0,即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数 f(x)在 x=x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).(无備移+左右时称*二灰圉数)若/(s1,厠曲+去尸认,⑴x+x—122.若 2工 xO,则极值点偏移，此时函数 f(x)在 x=x0 两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).(左缀右陡*极值点向右儡移)若/GJ 二/(吨)”则眄+zij<2su.⑶f(x)=xlnx-1mx2-xf(J 乙典例：已知 2，meR•若八有两个极值点 xi，x2，且 xix2,求证：xix2>e2(e 为自然对数的底数).解法一：齐次构造通解偏移套路xx>e2lnx+lnx>2证法 1：欲证 12，需证 12.卄 f(x)xxf(x)f(x)=lnx-mxx右有两个极值点 1，2，即函数有两个零点.又，所以，1，xf'(x)=0x2是方程丿的两个不同实根.(左陡盂蛻隈值点向左偏移)若 fix)—f(x2)r则卉］'#0*2X从而可inx 一 inx21x 一 xinx + inx x+x12于(inx—ininx+inx=2121_=、1+Zx 1 丿 x]xxin2xx1,则 t>1.因此,inx+inx12( 1 + 1 ) int 要证 in%+inx2>2,即证:(t+1)int>2t—1t>1.int>2(t-1)有 t+1.设(t-1)20-0h(t)(1.+8)h(1)=0h(t)-h(1)=0所以，为上的增函数•注意到，，因此，.h(t)=int-2(t—1)函数 t+1,t-1,则h，(t)=1—2(t+1)-2(t—1)t(t+1)2xx>e212Jinx 一 mx=0「、工亠 Iininx—inx=m(x—x另一万面，由'22，得 2121it>2(t-1)，当 t>1时，有 t+1.所以，有 inx1+inx2>2 成立,求解本题的关键点有两个.一个是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变inxm=1量把参数表示出来，这是解决问题的基础，若只用一个极值点表示参数，如得到 x1之后，代入第二个方程，则无法建立两个极值点的关系，本题中利用两个方程相加(减)之后再消参，巧妙地把两个极值点与参数之间的关系建立起来；二是消“变”即减少变量的个数,只有把方程转化为一个“变量”的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题求解.本x题利用参数 m 的值相等建立方程，进而利用对数运算的性质，将方程转化为关于 x1的方程,通过建立函数模型求解该问题，这体现了对数学建模等核心素养的考查.(消参减元)解法二变换函数能妙解证法 2：欲证 x1x2>e2，需证 in%+inx2>2•若 fGl 有两个极值点 x1,x2,即函数 f&)有两个零点•又 f'(x)=inx一 mx，所以，％，x...