定积分的应用教案

高等数学教案 § 6 定积分的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 第六章 定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 § 6  1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设yf (x)0 (x[a b]) 如果说积分 badxxfA)( 是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数 xadttfxA)()( 就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f (x)dx 表示点 x 处以 dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值Af (x)dxf (x)dx 称为曲边梯形的面积元素 以[a b]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素 f(x)dx 为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分 badxxfA)(  一般情况下 为求某一量 U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素 dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以 u(x)dx 为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得 badxxfU)( 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法) 高等数学教案 §6 定积分的应用 重庆三峡学院高等数学课程建设组 § 6  2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y f上(x )与y f下(x )及左右两条直线x a 与x b 所围成 则面积元素为[f上(x ) f下(x )]dx  于是平面图形的面积为 dxxfxfSba)]()([下上  类似地由左右两条曲线x 左(y )与x 右(y )及上下两条直线y d 与y c 所围成设平面图形的面积为  dcdyyyS)]()([左右 例1 计算抛物线y 2x 、y x 2 所围成的图形的面积 解 (1)画图 (2)确定在x 轴上的投影区间: [0 1] (3)确定上下曲线2)( ,)(xxfxxf下上 (4)计算积分 31]3132[)(10323102xxdxxxS...