实验二 MATLAB 数值计算：常微分方程(组)的求解 一、实验目的 在物理学和工程技术上，很多问题都可以用一个或一组常微分方程来描述，因此要解决相应的实际问题往往需要首先求解对应的微分方程。在大多数情况下这些微分方程通常是非线性的或者是超越方程(比如范德堡方程，波导本征值方程等)，因此往往需要使用计算机数值求解。MATLAB 作为一种强大的科学计算语言，其在数值计算和数据的可视化方面具有无以伦比的优势。在解决常微分方程问题上，MATLAB 就提供了多种可适用于不同场合(如刚性和非刚性问题)下的求解器(Solver)，例如 ode45，ode15s，ode23，ode23s 等等。本次实验将以范德堡方程的计算和地球卫星的运行轨道的仿真为例，练习使用 MATLAB 的常微分方程求解器，以期达到如下几个目的： 1. 熟悉常微分方程的求解方法，了解状态方程的概念； 2. 能熟练使用 dsolve 函数解析求解常微分方程； 3. 能熟练运用 ode45、ode15s 求解器分别数值求解非刚性和刚性常微分方程； 4. 学习用求解器来绘制相图的方法。 二、实验的预备知识 1．微分方程的概念 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由 一已 知方程联 系 在一起 的方程称 为微分方程。如果 未知函数是一元 函数，称 为常微分方程（ Ordinary differential equ ations，简称 odes）。n 阶常微分方程的一般 形 式 （ 隐 式 ） 为： 0),,",',,()(nyyyytF （ 1） 其中 t 为自变量。如果 未知函数是多元 函数，成 为偏 微分方程。联 系 一些未知函数的一组微分方程组称 为微分方程组。微分方程中 出 现 的未知函数的导数的最 高 阶解数称 为微分方程的阶。若 方程中 未知函数及其各 阶导数都是一次的，称 为线性常微分方程，一般 表 示 为 )()(')()(1)1(1)(tbytaytaytaynnnn 若 上式 中 的系 数 ai (t), i=1,2,… ,n 均 与 t 无关 ，称 之 为常系 数。 2．常微分方程的解析解 有些微分方程可直 接 通过 积 分求解，例如一阶常系 数常微分方程1dy dty。有些常微分方程可用一些技巧 ,如分离 变量法,积 分因子 法,常数变异 法,降 阶法等可化为可积 分的方程而 求得 解析解。 线性常微分方程的解满 足 叠 加 原 理，从 而 他 们 的求解可归 结 为求一个特 解和相应齐 次微分方程的通解。一阶变系 数线性微分方程总 可用这一思 路 求得...
