几何证明——角平分线模型(中级)【知识要点】1、角平分线:(1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等);(2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。(作用:证明两角相等或一条射线是一个角的角平分线)。2、角平分线常见用法(或辅助线作法):① 垂两边:如图 1,已知 BP 平分 ZABC,过点 P 作 PA 丄 AB,PC 丄 BC,则 PA=PC。② 截两边:如图 2,已知 BP 平分 ZMBN,点 ABM 上,在 BN 上截取 BC=BA,则 AABP 今 ACBP。③ 角平分线+平行线一等腰三角形:如图 3,已知 BP 平分 ZABC,PAIIAC,则 AB 二 AP;3、角平分线比例定理如图 6,AD 为 AABC 的角平分线,则 AB=CD 或BB=CCACCDBDCD经典例题】例 1、已知如图,AABC 中,BC=AC,AD 平分 ZCAB,若 ZC=90。,求证:AB=AC+CD;④ 三线合一(利用角平分线+垂线一等腰三角C6)例 2、如图,在 RtAABC 中,ZACB=90。,CD 丄 AB 于 D,AF 平分 ZCAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,且 EG//AB 交 CB 于 G。试求:CF 与 GB 的大小关系如何?C例 3、已知如图,AABC 中,BC=AC,AD 平分 ZCAB,若 ZC=108。,求证:AB=AC+BD;例 4、如图:已知 I 是 AABC 的内心,DIIIAB 交 BC 于点 D,El11AC 交 BC于 E。求证:ADIE 的周长等于 BC。例 5、如图:已知在 AABC 中,ZABC 的平分线与 ZACB 的外角平分线交于点 D,DE〃BC,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,求证:EF=BE—FC。例 6、如图,已知 AABC 中 ZBAC 二 90。,AB=AC,CD 垂直于 ZABC 的平分线 BD 于 D,BD 交 AC 于 E,求证:BE=2CD。【提升训练】1、如图,已知 AABC 的周长是 21,0B,0C 分别平分 ZABC 和 ZACB,OD 丄 BC 于 D,且 OD=3,求AABC 的面积.6•已知:如图,平行四边形 ABCD 各角的平分线分别相交于点 E,F,G,H,求证:四边形 EFGH 是矩形.4.如图,AD 是厶 ABC 的角平分线,DF 丄 AB,垂足为 F,DE=DG,△ADG 和厶 AED 的面积分别为 50 和 39,求△EDF的面积.5•已知如8C7.如图,等边△ABC 中,AO 是 ZBAC 的角平分线,D 为 AO 上一点,以 CD 为一边且在 CD 下方作等边△CDE,连接 BE.(1)求证:△ACD^ABCE;(2)延长 BE 至 Q,P 为 BQ 上一点,连接 CP、CQ 使 CP=CQ=5,若 BC=8 时,求 PQ 的长.8.如图,已知在△ABC...