对称变换和对称矩阵

7.5 对称变换和对称矩阵 授课题目：7.5 对称变换和对称矩阵 教学目的： 1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题． 2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质． 3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 T AT为对角形 授课时数：3 学时 教学重点： 对称变换的特征根、特征向量的性质; 对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 T AT为对角形 教学难点：定理 7.5.4 的证明 教学过程： 一、 对称变换 1、一个问题 问题：欧氏空间V 中的线性变换 应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V 满足：V,,)(,），（ 2、对称变换的定义 设 是欧氏空间V 中的线性变换，如果V,都有、 )(,），（ 则称 是 V 的一个对称变换 例 1 以下3R 的线性变换中,指出哪些是对称变换? 1123122331(,,)(,,)x x xxx xx xx 21231323123(,,)(,2,2);x x xxx xx xxx 3123213(,,)(,,)x x xxxx 3、对称变换与对称矩阵的关系 Th1：n 维欧氏空间V 中的线性变换 是对称变换的充分必要条件是：  关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵 证：必要性：设 是对称变换， 关于 V 的标准正交基},{21n的矩阵是A=)(),(RnijuAa即 ))()(),((21n},{21nA 则knkkiia 1)( ni 1 因 是对称变换，},{21n是标准正交基，所以 ijknkkjijijijknkkijiaaaa11,)(,),(, 因此，A 是对称矩阵 充分性 设 关于V 的标准正交基},{21n的矩阵是A=)(ija是实对称矩阵，即 ))()(),((21n},{21nA，A=A 对任意 V,，有 nnxxx2211},{21n nnyyy2211},{21ny 于是 )(},{21nA  )(},{21nAy 其中A  ，Ay分别是)(，)(关于标准正交基},{21n的坐标列向量，因此 AYAYYAYATTTTT)()(,)(),( 因A=A 故),(= )(, 二、对称变换的基本性质 1、特征根的性质 Th2 实对称矩阵的特征根都是实数 证明：设A= )(ija是一个 n 阶...