导数与函数之放缩技巧

1 1,xxexeex变形有法之放缩有度 一：引例 1( )ln1( )02018xf xaexf xe已知函数。证明：当a时（年全国卷文），1 1 ln1xexxx考虑： ， 放缩 -11( )ln1ln1xxef xaexex  证明如下：因为a所以x-(x-1)-1=0 以上两题主要利用两个常见的放缩： 1xex（1）： ln1xx（2）： 本讲座主要讲述四个方面： 1.对放缩法的认识 2.为什么要放缩？ 3.怎么放缩？了解几种常见的放缩，从而解决不等式证明与恒成立问题。 4.对放缩法的进一步认识（泰勒展开式）。 一．指数、对数的放缩 常见指数放缩： 11-ln-1xxx 常见对数放缩： 2201813( )xaxxf xe已知函例1：（年全数国卷） 1( )0af xe（2）证明：当时， 212+1221+1+1+(x +2)x +1( )=0xxxxxxaxxexxexxf xeeeee（） 证毕。 221()(ln22,01)6xfxaxxaRx例：（ 年山东理）已知 2 1( )0af x证明：（1）先证：时， 恒成立1( )0af x再证：时， 不恒成立1( )ln1(1)10af xxxxx  时，1(1)=10,( )0afaf x 时，故 不恒成立1a 综上得 3( )'( )[1,2]2f xfxx求证：当a=1时，对任意 恒成立 233125[1,2]ln02xxxxxx即证：当 时，g(x)=恒成立 4324326'(1)xxxxg xx常规方法：，思路简单，过程复杂繁琐。 2常规方法：对g(x)分解成两个函数的和，分别求最小值，相加即可。 ln1xx放缩考虑：法： 232331253125ln(1)22xxxxxxxxxxg(x)= 2331232xxx，23312302xxx先证32430xx2即证：6x（易证） 考虑不能同时取等，即可得原式得证。 21( )ln.( )xf xexxxf xxee例3：已知求证： 1( )ln0xg xexexex即证：① -0xxeexe ex考虑：，即② 1ln1,xx 11ln1,ln+0exxexex 即③ 由② ③ 相加，且不能同时取等，即可得① 式成立，即证。 ( )ln1(1)( )02ln10xf xaxxf xaexxx 例4：已知若恒成立，求的取值范围（）证明： 3 ln1xx考虑解：放缩法，2( )ln ,0,5)0f xxaxxxf xa若对任意都有（恒成立，求例：已知函数的范围。（2）：利用lnxx-1可得： ln1xxeexxln1+ +ln10xxeexxxxxx ...