导数应用专题之含参函数的单调性讨论VIP专享

1 导数应用专题之含参函数的单调性讨论 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。 一、经典例题 例 1、已知函数32( )331,f xaxxxaR,讨论函数)(xf的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('xf的解区间；确定函数的减区间就是确定0)('xf的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。 解： 因为32( )331,f xaxxxaR， 所以/2( )3(21)fxaxx (1) 当0a 时，/( )3(21)fxx， 当1 ,2x  时，/( )0fx ；当1 ,2x  时，/( )0fx ； 所以函数( )f x在 1(,]2 上单调递增，在1[,)2 上单调递减； (2) 当0a 时，/2( )3(21)fxaxx的图像开口向上，36(1)a I) 当136(1)0,aa 时，时，/( )0fx ，所以函数( )f x在R 上递增； II) 当0136(1)0,aa 时，时，方程/( )0fx 的两个根分别为 121111,,aaxxaa  且12,xx 所以函数( )f x在 11(,)aa ，11(,)aa  上单调递增， 在1111(,)aaaa  上单调递减； (3) 当0a 时，/2( )3(21)fxaxx的图像开口向下，且36(1)0a  方程/( )0fx 的两个根分别为121111,,aaxxaa  且12,xx 所以函数( )f x在 11(,)aa ，11(,)aa  上单调递减， 在1111(,)aaaa  上单调递增。 2 综上所述， 当0a 时，所以函数( )f x 在1111(,)aaaa  上单调递增， 在 11(,)aa ，11(,)aa  上单调递减； 当0a 时，( )f x 在 1(,]2 上单调递增，在1[,)2 上单调递减； 当01a 时，所以函数( )f x 在 11(,)aa ，11(,)aa  上单调递增， 在1111(,)aaaa  上单调递减； 当1a  时，函数( )f x 在R 上递增； 小结： 导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0 情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0 的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确...