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导数应用专题之含参函数的单调性讨论

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1 导数应用专题之含参函数的单调性讨论 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论,若有多个讨论点时,要注意讨论层次与顺序,一般先根据参数对导函数类型进行分类,从简单到复杂。 一、经典例题 例 1、已知函数32( )331,f xaxxxaR,讨论函数)(xf的单调性. 分析:讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增,在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('xf的解区间;确定函数的减区间就是确定0)('xf的解区间;讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。 解: 因为32( )331,f xaxxxaR, 所以/2( )3(21)fxaxx (1) 当0a 时,/( )3(21)fxx, 当1 ,2x  时,/( )0fx ;当1 ,2x  时,/( )0fx ; 所以函数( )f x在 1(,]2 上单调递增,在1[,)2 上单调递减; (2) 当0a 时,/2( )3(21)fxaxx的图像开口向上,36(1)a I) 当136(1)0,aa 时,时,/( )0fx ,所以函数( )f x在R 上递增; II) 当0136(1)0,aa 时,时,方程/( )0fx 的两个根分别为 121111,,aaxxaa  且12,xx 所以函数( )f x在 11(,)aa ,11(,)aa  上单调递增, 在1111(,)aaaa  上单调递减; (3) 当0a 时,/2( )3(21)fxaxx的图像开口向下,且36(1)0a  方程/( )0fx 的两个根分别为121111,,aaxxaa  且12,xx 所以函数( )f x在 11(,)aa ,11(,)aa  上单调递减, 在1111(,)aaaa  上单调递增。 2 综上所述, 当0a 时,所以函数( )f x 在1111(,)aaaa  上单调递增, 在 11(,)aa ,11(,)aa  上单调递减; 当0a 时,( )f x 在 1(,]2 上单调递增,在1[,)2 上单调递减; 当01a 时,所以函数( )f x 在 11(,)aa ,11(,)aa  上单调递增, 在1111(,)aaaa  上单调递减; 当1a  时,函数( )f x 在R 上递增; 小结: 导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论(先讨论其为0 情形),然后讨论判别式(先讨论判别式为负或为0 的情形,对应导函数只有一种符号,原函数在定义域上为单调的),判别式为正的情况下还要确...

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