导数的定义及可导条件教案

1 导数 一、导数的相关概念 1、导数的定义： xxfxxfxfx)()(lim)(0000/ 例 1、用导数的定义求下列函数的导数 （1）1)(xf （2）xxfx2)(2  2、单侧导数（左、右导数）： （1）、左导数：xxfxxffxx)()(0lim)(000/ （2）、右导数：xxfxxffxx)()(0lim)(000/ 例 2、求函数 )1(14)1(2)(2xxxxxfx在点1x处的左导数和右导数。 2 3、函数)(xfy 在点xx0处可导的充要条件： 左、右导数均存在且相等，即)()(0/0/xxff  例 3、已知函数xxf)(，试判定)(xf在0x是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。 4、导数的几何意义： 曲线)(xfy 上点（)(,00xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy 在点0x 可导，则曲线)(xfy 在点（)(,00xfx）处的切线方程为 ))(()(00/0xxxfxfy 例 3、求函数1)(2  xxf在点3x处的切线方程。 注意： 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值，它们之间的关系是函数)(xfy 在点0x 处的导数就是导函数)(/ xf在点0x 的函数值，通常记作xx＇y0或)(0' xf。 例 5、求函数xxf1)(的导数及其在1x处的导数值。 3 5、可导与连续的关系 如果函数)(xfy 在点xx0处可导，那么函数 )(xfy 在点x 0 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。 例4、已知函数)0(0(x＜xxxxy），试判断)(xfy 在0x处的连续性和可导性。 6、求函数)(xfy 导数的一般方法： （1）、求函数的改变量)()(xfxxfy； （2）、求平均变化率xxfxxfxy)()(； （3）、取极限，得导数/y ＝ )(xf‘xyx0lim。 例5、求xy2的导数及其在点1x处的导数值。 例6、 已知123xxy，求y＇，2x＇y。 4 二、几种常见函数的导数 1、0'C(C 为常数) 例如：求下列函数的导数：（1）0y；（2）)(Raay 2、1)'(nnnxx()Qn 例如：求下列函数的导数：（1）xy2；（2）xy3；（3）xy  3、xxcos)'(sin 4、xxsin)'(cos 5、xx1)'(ln 6、axxaln1)'(log 例如：求下列函数的导数：（1）xy log3 7、eexx)(' 8、axa...