1 / 6 导数知识点归纳及应用 ●知识点归纳 一、相关概念 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x0 处有增量x ,那么函数y 相应地有增量y =f(x0+ x )-f(x0 ),比值xy 叫做函数y=f(x)在x0 到x0 + x 之间的平均变化率,即xy =xxfxxf)()(00。如果当0x时,xy 有极限,我们就说函数y=f(x)在点x0 处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0 处的导数,记作f’(x0)或 y’|0xx 。即f(x0 )=0limxxy =0limxxxfxxf)()(00。 说明: (1)函数f(x)在点x0处可导,是指0x时,xy 有极限。如果xy 不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数。 (2)x 是自变量x 在x0 处的改变量,0x时,而 y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0 处的导数的步骤: ① 求函数的增量y =f(x0 + x )-f(x0 ); ② 求平均变化率xy =xxfxxf)()(00; ③ 取极限,得导数f’(x0 )=xyx0lim。 例:设 f(x)= x|x|, 则 f′( 0)= . [解析]: 0||lim||lim)(lim)0()0(lim0000xxxxxxfxfxfxxxx ∴f′( 0)=0 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点p(x0 ,f(x0 ))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x0 ,f(x0 ))处的切线的 2 / 6 斜率是f’(x0 )。相应地,切线方程为 y-y0 =f/(x0 )(x-x0 )。 例:在函数xxy83 的图象上,其切线的倾斜角小于4 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3.导数的物理意义 如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v = s(t)。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v =v(t),则该物体在时刻 t 的加速度 a=v′(t)。 例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间t 的函数,其图像可能是( ) 练习:已知质点 M按规律32 2 ts做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s)。 (1) 当 t=2,01.0t时,求ts ; (2) 当 t=2,001.0t时,求ts ; (3) 求质点 M在 t=2时的瞬时速度。 二、导数的运算 1.基本函数的导数公式: ①0;C...