同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7 时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7 称作“模 7”，37、44对于模 7同余。 记作： （mod7） “”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于 1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模 m同余，记作： 2. 同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，，则（这称为同余的传递性） （4）若，，则（ ）（这称为同余的可加性、可减性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果 那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1. 用412、133和 257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和 257除以a所得的余数相同，所以，，说明 a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 所以a最大是31。 例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3. 有一个1997 位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100 位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940 六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4 个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？ 则 所以商的个位数字应是“170940”中的第 4 个，商应是9，相应的余数是5。 【模拟试题】（答题时间：20分钟） 1. 求下列算式中的余数。 （1） （2） （3） （4） 2. 6254与 37的积除以7，余数是几？ 3. 如果某数除 482，992，1094 都余 74，这个数是几？ 同余问题（二） 【例题分析】 例 1. 除以7，余数是几？ 分析与解答： 例2. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？ 分析：假设这个自然数为a ...
