全等三角形经典例题详解

【例题精选】： 例1 ：已知：如图，过ABC 的顶点A，作AF⊥AB 且AF=AB，作AH⊥AC，使AH=AC，连结BH、CF，且BH 与CF 交于D 点。 求证：（1）BH=CF（2）BH⊥CF 例2 ：已知，如图：BD、CE 是ABC 的高，分别在高上取点P 与Q，使BP=AC，CQ=AB。 求证：AQ=AP 例3 ：已知：如图，OA=OB、OC=OD 求证：AE=BE 例4 ：已知：如图，AD∥BC，AE、BE 分别平分∠DAB 和∠CBA，DC 过点E。求证：AB=AD+BC 例5：已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD、CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180。 求证：AE=AD+BE 例：已知：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E、F 分别在AC、AB 边上，∠EDF=90。 求证：BFCEEF 例1 分析：从图中可观察分析，若证BH=CF，显然，若能证出ABH≌AFC，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB，AC=AH。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。 证明： （1） AF⊥AB，AH⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90 ∴∠BAF+∠BAC=∠HAC+∠BAC ∴即∠FAC=∠BAH 在ABH 和AFC 中 ABAFBAHFACAHAC 已知已证已知 ∴ABH≌AFC（边角边） ∴BH=FC（全等三角形对应边相等） （2）设AC 与BH 交于点P 在APH 中 ∠HAP=90 ∴∠2+∠3=90（直角三角形中两个锐角互余） ∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3=90 在PDC 中 ∠1+∠4=90 ∴∠HDC=90 ∴BH⊥CF 例 2 分析：从要证的结论 AQ=AP，只有在ABP 和QCA 中找对应原素，不难发现，已经有 BP=AC、CQ=AB，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然 BD、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90，这样就可看出∠1 和∠2 都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。 证明： BD⊥AC 于D CE⊥AB 于E ∴∠BDA=∠CEA=90 ∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90 ∴∠1=∠2 在ABP 和PCA 中 ABCQBPAC  已知已证已知12 ∴ABP≌QCA（边角边） ∴AQ=AP（全等三角形...