微分几何_课后习题答案_第四版_梅向明_黄敬之编

微分几何主要习题解答 13 §1 曲面的概念 1.求正螺面 r ={ uvcos ,u vsin, bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为 r ={u0cosv ,u 0sin v ,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {0cosv ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0uvcos ,0uvsin,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面 r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为 r ={ a（u+0v ）, b（u-0v ）,2u0v }={ a0v , b0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a0v , b0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线 ; v-曲线为 r =｛a（0u +v）, b（0u-v）,20uv｝=｛a0u , b0u,0｝+v{a,-b,20u}表示过点(a0u , b0u,0)以{a,-b,20u}为方向向量的直线。 3．求球面 r =}sin,sincos,sincos{aaa上任意点的切平面和法线方程。 解 r =}cos,sinsin,cossin{aaa ，r =}0,coscos,sincos{aa 任意点的切平面方程为00coscossincoscossinsincossinsinsincoscoscosaaaaaazayax 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为 sinsinsincossincoscoscoscoscosazayax 。 4．求椭圆柱面22221xyab 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22221xyab 的参数方程为 x = cos, y = asin, z = t , 微分几何主要习题解答 14 }0,cos,sin{bar , }1,0,0{tr 。所以切平面方程为： 01000cossinsincosbatzbyax，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3uvavur 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证 },0,1{23vuaru，},1,0{23uvarv。切平面方程为：33zauvvyux 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uva 23)。于是，四面体的体积为： 3329||3||3||361auvavuV是常数。 §２ 曲面的第一基本形式 1. 求双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 ,4} ,2,,{} ,2,,{2222vbarEubarvbaruvu 2222224,4ubarGuvbarrFvvu...