微积分(曹定华)课后题答案第九章习题详解

1 第9 章 习题 9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 115nna（a＞0）； (2) 1)1(nnn; (3) 131nn; (4) 12)1(2nnn; (5) 11lnnnn; (6) 12)1(nn; (7) 11nnn; (8) 0( 1)21nnnn． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a,且0a ,故当 1|| 1a,即1a 时，级数收敛，当 1|| 1a即 01a时，级数发散. （2）(21)(32 )(1)nSnn 11n l i mnnS    1(1)nnn发散. （3）113nn是调和级数11nn去掉前 3 项得到的级数，而调和级数11nn发散，故原级数113nn发散. （4）1112( 1)1( 1)222nnnnnnn  而1112 nn,1( 1)2mnn是公比分别为 12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111( 1)22nnnn收敛，即原级数收敛. 2 （5） lnlnln(1)1nnnn 于是(ln 1ln 2)(ln 2ln 3)[lnln(1)]nSnn l n 1l(1 )l n (nn  故limnnS   ,所以级数1ln1nnn发散. （6）2210,2nnSS   limnnS 不存在，从而级数1( 1) 2nn发散. （7）1limlim10nnnnUn    级数11nnn发散. （8） (1 )(1 )1, l i m21212nnnnnnUnn   l i m0nxU ，故级数1( 1)21nnnn发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 13121nnn； (2) ※ 1)2)(1(1nnnn; (3) 12sinnnnπ ; (4) 0πcos2nn． 解： （1）1111, 23nnnn都收敛，且其和分别为 1 和12，则11123nnn收敛，且其和为 1+ 12= 32. （2）11121(1)(2)212n nnnnn 121112111211121122322342345212nSnnn 3 11112212nn 1lim4nnS 故级数收敛，且其和为14. （3）πsin2nUnn,而πsinππ2limlim0π222nnnUn  ，故级数1πsin2nnn发散. （4）πcos2nnU,而4limlim cos 2 π1kkkU...