微积分(曹定华)课后题答案第四章习题详解

1 习题 4 -1 1.验证函数f(x )=lnsinx 在[ π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的 ，使f ′(ξ)=0. 解: 显然( )ln sinfxx在5π,66x上连续,在π5π,66内可导,且π5π()()ln 266ff ,满足罗尓定理的条件. 令cos( )cot0sinxfxxx,则π2x  即存在ππ5π(,)66,使( )0f成立. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ? 2(1)( )1,;(2)( ),;1,10, 21sin,0π(3)( )0, π1,0e xfxfxxxxfxx  解: (1) 2( )1exfx在1,1上连续,在1,1内可导,且( 1)1,(1)1,eeff 即 (1 )( 1 )ff ( ) fx在1,1上满足罗尓定理的三个条件. 令 2( )20exfxx得 0x , 即存在0( 1,1)  ,使( )0f. (2) 101( )1112xxfxxxx 显然( )fx在(0,1), (1, 2) 内连续,又1111(10)lim( )lim (1)0,(10)lim( )lim (1)0,(10)(10)(1)0,即xxxxffxxffxxfff 所以( )fx在1x 处连续,而且 0022(00)lim( )lim (1)1(0),(20)lim( )lim (1)1(2),xxxxffxxfffxxf 即( )fx在0x 处右连续,在2x 处左连续,所以( )fx在0, 2 上连续. 又 2 1111( )(1)1(1)limlim1,11( )(1)1(1)limlim111xxxxfxfxfxxfxfxfxx  ( 1 )( 1 )( fffx在1x 处不可导,从而( )fx在(0, 2) 内不可导. 又 (0)(2)1ff 又由 101( )112xfxx  知 ( )0fx 综上所述,函数( )fx满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的 . (3) 由0(00)lim sin0(0)1xfxf知( )fx在0x 不右连续, ( ) fx在0,π 上不连续, 显然( )fx在0, π上可导, 又(0)1,(π )0ff, 即(0)(π )ff, 且( )cos(0, π ) fxxx,取π(0, π)2 ,有π( )coscos02f. 综上所述,函数( )fx满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的 , = π2. 3. 不用求出函数( )(1)(2)(3)fxxxx的导数，说明方程( )0fx有几个实根...