精品文档---下载后可任意编辑初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰1。2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：精品文档---下载后可任意编辑1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若 O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A（∠A 为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图 1 图 2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。2、三角形外心 O、重心 G 和垂心 H 三点共线，且 OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论：1. 若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。（图 1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图 1）3. 若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。（图 2）定理证明已知：ΔABC 中，AD、BE 是两条高，AD、BE 相交于点 O，连接 CO 并延长交 AB 于点 F ，求证：CF⊥AB证明：精品文档---下载后可任意编辑连接 DE ∠ADB=∠AEB=90 度∴A、B、D、E 四点共圆∴∠ADE=∠ABE又 ∠ODC=∠OEC=9...
