初中数学竞赛专题讲解最短途径问题【问题概述】最短途径问题是图论研究中的一种经典算法问题， 意在寻找图（由结点和途径构成的）中两结点之间的最短途径．算法详细的形式包括：① 确定起点的最短途径问题 - 即已知起始结点，求最短途径的问题．② 确定终点的最短途径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终止结点，求最短途径的问题．③ 确定起点终点的最短途径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短途径．④ 全局最短途径问题 - 求图中所有的最短途径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【波及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思绪】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考察．【十二个基本问题】【问题 1】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．连 AB，与 l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．【问题 2】“将军饮马”作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．作 B 有关 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 A B＇．【问题 3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点 P 有关两直线的对称点 P＇和 P＇＇，连 P＇P＇＇，与两直线交点即为 M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长．【问题 4】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形 PQMN的周长最小．分别作点 Q 、P 有关直线、的对称点 Q＇和 P＇连 Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N．两点之间线段最短．四边形 PQMN 周长的最小值 为 线 段 P ＇ P ＇＇ 的长．lPB'ABl1l2NMP''P'Pl1l2NMP'Q'QPl1l2PQ【问题 5】“造桥选址”作法图形原理直线∥，在、，上 分 别 求 点 M 、 N ， 使MN⊥， 且 AM+MN+BN的值最小．将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交于点 N，过 N 作NM⊥于 M．两点之间线段最短．AM+MN+BN 的最小值为A＇B+MN．【问题 6】作法图形原理在 直 线上 求 两 点M 、 N （ M 在 左 ） ， 使，并使AM+MN+NB 的值最小．将点 A 向右平移个长度单位得 A＇，作 A＇有关 的对称点 A＇＇， 连A＇＇B，交直线于...
